7.7. Магнитное поле заполненного веществом соленоида

Пусть пространство внутри соленоида заполнено веществом, магнит­ная проницаемость которого равна μ. Ток проводимости, текущий в со­леноиде, относится к категории свободных токов. Его сила I считает­ся заданной величиной. В веществе циркулируют молекулярные токи, плотность которых неизвестна.

Силовые линии магнитного поля, создаваемого электрическим током

в соленоиде, показаны на рис. 6.6. Для нахождения модуля вектора Я воспользуемся теоремой о циркуляции (7.7). В качестве контура инте­грирования С выберем прямоугольный контур, изображенный пунктир­ной линией на рис. 6.6. Циркуляция вектора H по этому контуру будет равна криволинейному интегралу по отрезку силовой линии, который является частью контура С:

= Hl

Сумма сил токов проводимости, охватываемых контуром С, равна силе тока I в одном витке, умноженной на число витков на отрезке l:

 I*=Inl

В силу теоремы (7.7) о циркуляции вектора напряженности магнитного поля будем иметь

Н=пI. (7.17)

Из этой формулы видно, что модуль вектора Н внутри длинного соле­ноида всюду одинаков. Учитывая также неизменность его направлений, можно утверждать, что магнитное поле внутри соленоида однородно.

Причем направление вектора Н внутри соленоида связано с направле­нием тока в соленоиде правилом правого винта.

Если контур С располагается вне соленоида, то он не охватывает ни одного витка с током. При этом

 I*=0

В этом случае теорема о циркуляции вектора Н дает следующий резуль­тат:

Н=0,

т.е. магнитное поле вне бесконечно длинного соленоида отсутствует.

Магнитную индукцию внутри соленоида можно найти по формуле (7.12), если известна магнитная проницаемость /л среды, которая запол­няет его внутренность:

В =μnI (7.18)

7.8. Условия на границе раздела двух магнетиков

Пусть поверхность S является границей раздела двух магнетиков. Бу­дем считать, что на этой поверхности нет свободных токов. Построим небольшой воображаемый цилиндр высотой 26, одна половина которого находится в первом магнетике, а другая - во втором (рис. 7.4). Площадь основания цилиндра равна dS. Применим теорему (6.9) о потоке вектора магнитной индукции:

=0

(7.19)

где в качестве поверхности S возьмем поверхность построенного цилин­дра. Поток вектора В через поверхность этого цилиндра равен сумме потоков через его основания и боковую поверхность. При этом равенство (7.19) примет вид

Рис. 7.4- К выводу граничных условий

B₁n₁dS + B₂n₂dS +Ф=0

Где Ф– поток магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра. Устремим δ к нулю. При этом поток Ф обратится в ноль. Учитывая, что вектор n₂ единичной нормали к одной из сторон поверхности противоположен по направлению вектору n₁ нормали другой ее стороне в той же точке

(n₂ = -n₁), придем к уравнению

B₁n₁ = B₂n₁,

Или

B₁ = B₂,

Из которого следует, что нормальная составляющая вектора магнитной индукции при переходе через границу раздела двух веществ не изменяется.

Вычислим теперь циркуляцию вектора напряженности магнитного по­ля по небольшому прямоугольному контуру ABCDA (рис. 7.4), две сто­роны которого параллельны поверхности S, но лежат в разных магне­тиках, а длина двух других сторон стремится к нулю. По теореме о циркуляции (7.9) вектора напряженности магнитного поля будем иметь

H₁ AB + H₂ CD = 0

так как на поверхности S нет свободных токов. Введем единичный вектор τ, касательный к поверхности:

τ = AB/AB

Учитывая, что CD = -AB , преобразуем равенство (7.21) к виду

H₁τ = H₂τ

H_τ1 = H_τ2

Согласно этому равенству тангенциальные составляющие вектора напря­женности с той и другой стороны поверхности раздела двух магнетиков одинаковы.

Условия (7.20) и (7.22) позволяют исследовать поведение силовых ли­ний магнитного поля у границы раздела двух магнетиков. Если справед­ливо соотношение (7.12), то условие (7.22) можно записать так:

B₁τ /μ₁ = B₂τ/μ₂

B₁ /μ₁ = B₂/μ₂ (7.23)

где μ₁ и μ₂ - магнитные проницаемости магнетиков по разные сторог границы раздела.

Рис. 7.5. Преломление силовых линий на границе раздела двух магнетиков

На рис. 7.5 изображены силовые линии магнитного поля для случая, когда μ₁ < μ₂ . Обозначим углы между силовыми линиями и нормалью к поверхности а₁ и а₂. Из геометрических построений на рис. 7.5 нетрудно получить соотношения

tg а₁ = В_τ1/В_n1 tg а₂ = В_τ2/В_n2

При помощи граничных условий (7.20) и (7.23) найдем, что

tg а₁ / tg а₂ = μ₁/μ₂ (7.24)

Из равенства (7.24) следует, что при μ₁ < μ₂ имеет место неравенство а₁ < а₂ (рис. 7.5). Если а₁ = 0, то и a₂ = 0. В этом случае танген­циальные составляющие вектора В равны нулю, а его модуль не изме­няется при переходе через границу раздела в силу условия (7.20). Если а₁ = /2, то и а₂ =/2. При этом нормальные составляющие вектора В равны нулю, а модуль магнитной индукции в среде 1 будем в μ₁/μ₂ раз меньше, чем в среде 2 согласно (7.23).

На рис. 6.3 показаны силовые линии магнитного поля кругового тока. Вставим внутрь витка с током цилиндр, изготовленный из магнетика с большой магнитной проницаемостью (μ_r >>1). Такие вещества называ­ются ферромагнетиками. Магнитная индукция в центре витка станет больше в μ_r раз. Увеличится также энергия магнитного поля. В таких случаях говорят, что поле стало сильнее. Почему это происходит? Под действием магнитного поля витка с током ферромагнитный цилиндр на­магничивается и создает свое магнитное поле, которое может быть даже сильнее поля витка. Силовые линии магнитного поля проходят главным образом внутри цилиндра параллельно его оси (рис. 7.6). Они как бы собрались в параллельный пучок. Магнитное поле вне цилиндра у его боковой поверхности слабее в μ_r раз. Наибольшая магнитная индукция внутри цилиндра и у его торцов. Это свойство используется для созда­ния сильных магнитных полей.

Рис. 7.6. Силовые линии магнитного поля витка с током концентрируются в ферромагнитном сердечнике

Ферромагнетики произвольной формы, внутри которых преимуще­ственно проходят силовые линии магнитного поля, называются магнит­ными цепями. Простейшая магнитная цепь показана на рис. 7.7. Она представляет собой ферромагнитное ярмо с воздушным зазором. На яр­ме имеется токонесущая обмотка.

Рассмотрим некоторую среднюю силовую линию магнитного поля, проходящую внутри ферромагнетика и пересекающую воздушный зазор. Пусть ее длина равна l, а ширина зазора - d. Применим теорему (7.7) о циркуляции вектора напряженности магнитного поля. Пусть Н₁ есть напряженность магнитного поля в зазоре, а Н₂ - напряженность поля в ярме. Циркуляция вектора Н по рассматриваемой силовой линии равна сумме токов, охватываемых этой линией:

Н₁d + Н₂(l-d) = NI, (7.25)

где N - число витков; I - сила тока в обмотке.

Относительную магнитную проницаемость воздуха можно считать рав­ной единице. В рассматриваемом случае соотношение (7.12) приводит к равенства

B₁ = μ_o H₁ , B₂ = μ_r μ_o Н₂ .

Рис. 7.7. Простейшая магнитная цепь

Силовые линии в зазоре почти перпендикулярны поверхности магне­тика. Поэтому в силу (7.20) магнитные индукции в воздушном зазоре и веществе равны:

В₁=В₂ = В. (7.27)

Разрешив систему (7.25) - (7.27) относительно В, найдем индукцию магнитного поля:

B₁ = μ_o NI/(d+ (l-d)/μ_r)

Из этой формулы видно, что при одном и том же токе в обмотке магнит­ная индукция тем больше, чем меньше ширина зазора d и чем больше магнитная проницаемость μ_r. Существуют ферромагнетики, для кото­рых μ_r 10⁶/

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ