10.3. Вывод уравнения непрерывности из уравнений Максвелла

Уравнение непрерывности

(10.18)

выражающее закон сохранения заряда, связывает объемную плотность заряда q = o(t, г) и плотность тока j = j(t, r). Покажем, что это урав­нение можно получить из уравнений Максвелла. Докажем следующее тождество:

d_1V rot a = 0 , (10.19)

где а = а(г) - произвольное векторное поле. Ротор вектора а можно вычислить по формуле

г j к д_ д_ д_

дх ду dz

да^ да_у ~dy~~dz

Дивергения некоторого векторного поля b = 6(г) есть скалярная вели­ чина, определяемая формулой: v'iO Ф

E)= _(1(Ш)

дх ду dz

Подставив в эту формулу вместо координат вектора Ъ координаты век­тора rot а, получим выражение rot а = [Vа] =

Нетрудно видеть, что это выражение тождественно равно нулю. Таким образом, тождество (10.19) доказано.

Вычислим дивергенцию левой и правой частей уравнения (10.3). С учетом тождества (10.19) придем к равенству

div -г— + div j = 0 .

H_x Ну H_z Вычислив определитель, получим

[Ж Ж] = {Еу Н₂ - E_z Ну) г+ {E_z Н_х - Е_х Н_я) j + {Е_х Н_у - Е_у Я,) * Л

Теперь найдем дивергенцию этого выражения:

div[lf Я] =

= SL(E_y&- E_z Ну) + 4~{E_Z Н~ Е_х H_z) + -^-{Е_х Ну - Е_у Н_х) .

Согласно уравнению (10.2) дивергенция электрической индукции равна объемной плотности заряда. С учетом этого придем к уравнению непре­рывности (10.18).

Задача. Используя теоремы Стокса и Остроградского - Гаус­са вывести уравнения Максвелла в интегральной форме из уравнений (10.1)-(10.4). Это равенство можно записать так:

[Е Н] =

Е_х Е_у Е_г

div [Ж Ж] = Ж rot Ж - Ж rot If . Вычислим векторное произведение векторов Е и Япо

10.4. Вывод соотношения, связывающего плотность энергии электромагнитного поля и вектор Умова — Пойнтинга

Докажем тождество

div [Ж Ж] = Ж rot Ж - Ж rot If . Вычислим векторное произведение векторов Е и Япо

Раскроем скобки и сгруппируем полученные слагаемые следующим обра­зом:

div [if Я*] =

дЕ_у дЕ_х

dE_z дЕ_у

ду ~д7 dH_z

ду dz ) * oz ox J \ дх ду

Как следует из формулы (10.20), первые три выражения в круглых скоб­ках, следующие за координатами вектора В , есть координаты вектора rot E ,

дЕ_х ВЕ

выражения в круглых скобках, следующие за координатами векто­ра Е , есть координаты вектора rot Я . Таким образом, тождество (10.22) доказано.

Вычислим производную от плотности энергии w по времени t. Соглас­но формуле (10.11) с учетом формул (10.10) будем иметь

dt

Преобразуем pfo выражение при помощи уравнений (10.1) и (10.3), запи­ сав их в видеС-' dB

Получим

С учетом тождества (10.22) придем к уравнению

(10.23)

Чтобы доказать это, проинтегрируем обе части уравнения (10.23) по не­которому объему V. Получим

Левую часть этого равенства можно записать так:

где

■

W(t) = f

- энергия электромагнитного поля, заполняющая объем V в момент вре­мени t. Первый интеграл в правой части

Р- fjlfdV

v

есть мощность джоулева энерговыделения, т.е. тепло, которое выделя­ется в объеме V за единицу времени вследствие прохождения электри­ческого тока по веществу в этом объеме. Интеграл от дивергенции по объему V, используя теорему Остроградского - Гаусса, можно преобра­зовать в интеграл по поверхности S, ограничивающей этот объем:

'

Таким образом, придем к уравнению (10.14).