5.5. Исследование практических задач. Определение отношения заряда электрона к его массе

Существуют различные методы определения отношения е/т заряда электрона к его массе, в основе которых лежат результаты исследова­ния движения электрона в электрическом и магнитном полях. Один из них - метод магнетрона. Основным элементом экспериментальной уста­новки, которая используется в этом методе, является специальная двух-электродная электронная лампа, электроды которой представляют собой коаксиальные (соосные) проводящие цилиндры. Воздух из лампы отка­чивают. Таким образом в ней создается достаточно глубокий вакуум, т.е. безвоздушное пространство. Лампу помещают внутри соленоида, кото­рый представляет собой цилиндрическую проволочную катушку. Когда по проволоке идет электрический ток, он создает внутри соленоида од­нородное магнитное поле, силовые линии которого направлены вдоль оси соленоида. Лампа располагается внутри соленоида так, что ее ось совпадает с осью соленоида. Внутренний цилиндр служит катодом, с поверхности которого в результате термоэлектронной эмиссии вылетают электроны, а внешний - анодом.

Когда между катодом и анодом приложено напряжение, в простран­стве между ними создается электрическое поле, силовые линии которо­го суть радиальные прямые, перпендикулярные поверхности электродов. Электрон имеет электрический заряд - е. Поэтому на каждый электрон, вылетающий из катода лампы, действует со стороны электрического по­ля сила

F_э=-е Е (5.20)

где Е - напряженность электрического поля. Так как воздух из лампы откачан и электроны беспрепятственно движутся под действием элек­трического поля вдоль его силовых линий от катода к аноду.

Когда в соленоиде идет ток, создающий внутри него магнитное поле, на электрон действует сила Лоренца

F_м = -е[vB], . (5.21)

которая называется магнитной в отличие от силы (5.20), называемой электрической. Индукция В магнитного поля направлена вдоль оси со­леноида. Магнитная сила перпендикулярна и вектору индукции В , и вектору скорости электрона v. Поэтому в магнитном поле траектория электрона искривляется. Чем сильнее магнитное поле, тем больше кри­визна траектории электрона. При значениях магнитной индукции боль­ших некоторого значения В_кр, которое называют критическим, траекто­рии электронов искривляются так сильно, что электроны не достигают анода и ток в лампе прекращается. Измерив критическое значение В_кр магнитной индукции, можно по нему определить отношение е/т. Теперь выведем формулу, связывающую эти величины.

Исследуем движение одного электрона в пространстве между элек­тродами под действием электрического и магнитого полей. Для этого запишем второй закон Ньютона

mv=-e(Е +[vB]) (5.22)

где v = v(t) - скорость электрона в момент времени t, m - его масса. Построим прямоугольную декартову систему координат так, чтобы ось z совпала с осью цилиндрических электродов. При этом вектор Е на­пряженности электрического поля будет перпендикулярен к оси z:

E_z = 0.

Так как вектор В магнитной индукции направлен вдоль оси z, его ко­ординаты

В_х=В_у=0, B_Z=B. (5.24)

Согласно определению векторного произведения, магнитная сила (5.21)

перпендикулярна вектору В и, следовательно, она также перпендику­лярна к оси z. Таким образом, приходим к выводу, что проекция на ось z приложенной к электрону силы равна нулю. Поэтому по закону Ньютона равно нулю ускорение электрона вдоль оси z:

v_z' =0.

Отсюда следует, что

v_z = const .

Начальная скорость электрона, вылетающего с поверхности катода, опре­деляется температурой катода и существенно меньше значений скорости, которую он приобретает при ускорении в электрическом поле. Поэтому можно положить

v_z = 0 . (5.25)

Это означает, что каждый электрон движется в пространстве между электродами так, что его скорость всегда перпендикулярна к оси z, т.е. его траектория лежит в плоскости z = const. Без ограничения общно­сти можно считать, что электрон, движение которого будем исследовать, перемещается в плоскости

z = 0. (5.26)

Для исследования движения электрона применим следующие два за­кона динамики материальной точки.

1. Производная по времени t от момента импульса

L = m [rv]

частицы равна сумме моментов действующих на нее сил:

dL/ dt=M_i

M_i = [rF_i]

- момент силы F_i.

2. Приращение полной энергии  частицы в течение некоторого вре­мени равно работе А _нкс, произведенной за это время неконсервативными силами:

 = А_нкс. (5.30)

Наиболее просто движение электрона в рассматриваемом случае описывается при помощи полярных координат r и а (рис. 5.10), которые связаны с декартовыми ко­ординатами х и у соотношениями

х = r cos a , y= r sin a

Рис. 5.10. Полярные координаты

Продифференцировав по времени эти со­отношения, получим следующие выраже­ния для декартовых координат вектора скорости:

v_x = x' = r' cos a - r a' sin a , v_y = у' = r' sin a + ra' cos a. (5.32)

При этом модуль скорости будет,

v = r'² + r² а'². (5.33)

Найдем декартовы координаты вектора L момента импульса электро­на. По определению

L =m = =L_zk

L_z = m(x v_y - yv_x)

- проекция вектора L на ось z. Подстановка выражений (5.31) и (5.32) дает

L_z = mr²a'. (5.34)

Найдем теперь проекции на ось z моментов электрической и магнитной сил. Момент электрической силы

M_e =[rF_e] =-e[rE]

равен нулю, так как вектор Е коллинеарен радиус-вектору r{х, у, 0} электрона. Проекции вектора магнитной силы найдем по формуле

F_м = -е[vB]= -e = - e(v_yi - v_xj)B

Теперь найдем проекции момента этой силы:

L = = =M_zk

M_z = e В (xv_x + yv_y)

- проекция на ось z вектора момента магнитной силы. Подстановка сюда выражений (5.31) и (5.32) приводит к формуле

M_z = еВ r r' . (5.35)

Из уравнения (5.28) вытекает уравнение для проекции L_z вектора L на ось z:

L_z' = M_z . (5.36)

Подстановка в это уравнение выражений (5.34) и (5.35) дает

d/dt( mr²a')= еВ r r' .

Этo уpaвнение можно записать так:

d/dt( mr²a') = (1/2) еВd/dt( r²) .

Производные двух функций тождественно равны только тогда, когда са­ми функции отличаются друг от друга на постоянную величину С:

mr²a' = (1/2) еВ r² + C .

Постоянную С найдем из начальных условий. При вылете электрона с поверхности катода в момент времени t = 0 его скорость можно считать равной нулю. Как следует из формулы (5.33), при этом

r' (0) = 0, а' (0) = 0. (5.38)

Так как в момент времени t = 0 электрон только вылетел с поверхности катода,

r(0) = r_К , (5.39)

где r_к - радиус катода. При помощи этих условий из равенства (5.37) найдем, что

C = -(1/2) еВ r_k ²

А само это равенство принимает вид

тr² а' = (1/2) еВ( r ²- r_k ²) (5.40)

На электрон действуют две силы. Электрическая сила является кон­сервативной, т.е. может быть представлена в виде

F_e = - grad U, (5.41)

Где

U = - e(r) (5.42)

- потенциальная энергия электрона, a (r) - потенциал электрического поля на расстоянии r от оси симметрии рассматриваемого устройства. Так как магнитная сила перпендикулярна вектору скорости, ее работа равна нулю: А_нкс = 0. Таким образом, на основании равенства (5.30) приходим к выводу, что полная энергия электрона

=mv²/2 +U (5.43)

при его движении не изменяется:

 = const .

Используя формулы (5.33) и (5.42), это равенство можно записать так:

(1/2)m (r'² + r²а'²) - e(r) = const .

=

При t = 0, когда электрон только оторвался от поверхности катода, ра­венство (5.44) имеет вид

- e(r_K) = const .

Теперь равенство (5.44) можно записать так:

(1/2)m (r'² + r²а'²) = e(r) .

(r) = e((r) - ( r_K))

Исключив производную а' из системы уравнений (5.40) и (5.45), придем к уравнению

(1/2)m (r'² + (еВ/ (2mr))² ( r ²- r_k ²)) = e . (5.46)

которое содержит в себе две переменные величины rиr', характеризую­щие движение электрона.

Рис. 5.11. Траектории движения электрона в магнетроне

Когда магнитная индукция В < В_кр, кривизна траектории электрона не вели­ка. При этом все электроны достигают анода (кривая 1 на рис. 5.11) и ампер­метр регистрирует ток в цепи. В сильных магнитных полях при В > В_кр траекто­рия электрона искривлена так, что он, не достигнув анода, возвращается на катод (кривая 2 на рис. 5.11 ). В этом слу­чае сила анодного тока будет равна нулю. В точке D наибольшего удаления элек­трона от катода производная г равна ну­лю. Кривизна траектории и расположе­ние точки D определяется значением маг­нитной индукции. Когда В = В_кр, траектория электрона касается по­верхности анода, т.е. точка D находится от оси на расстоянии, равном радиусу анода: r = r_а. В этом случае уравнение (5.46) принимает вид

((е В_кр²) / (8mr_a²)) ( r_a ²- r_k ²)) =U_a .

Где

U_a = ((r_a) - ( r_K))

- анодное напряжение, т.е. разность потенциалов между анодом и като­дом. Из этого равенства найдем выражение для удельного заряда элек­трона:

e/m ₌ 8U_a r_a² /( В_кр² ( r_a ²- r_k ²)²) (5.47)

Для определения по этой формуле отношения заряда электрона к его массе необходимо знать радиусы r_к и r_а катода и анода, и измерить напряжение U_a и критическое значение В_кр магнитной индукции.

Рассмотрим способ измерения значения В_кр. Измерив силу тока г_с в соленоиде, индукцию магнитного поля внутри соленоида можно вычи­слить по формуле

В =μ₀Ni_c/l² +d² (5.48)

где N - число витков в соленоиде, l u d - его длина и диаметр. Для нахождения значения В_кр в лампе устанавливают некоторую разность потенциалов U_a между анодом и катодом. Включают ток в соленоиде и постепенно увеличивают его силу i_c. При этом увеличивается индукция В магнитного поле в лампе. Если бы все электроны покидали катод со скоростью равной нулю, то зависимость величины анодного тока r_а от величины В индукции магнитного поля имела бы вид, показанный на рис. 5.12 (пунктирная линия). В таком случае при В < В_кр все электроны, испускаемые катодом, достигали бы анода (i_a  0), а при В > В_кр ни один электрон не попадал бы на анод (i_a = 0).

Однако некоторая некоаксиальность катода и анода, наличие остаточ­ного газа в лампе, падение напряжения вдоль катода, неоднородность поля соленоида по высоте анода и т.д. приводят к тому, что критиче­ские условия достигаются для разных электронов при разных значениях В. Все же перелом кривой останется достаточно резким и может быть использован для определения В_кр. Измеряют значение тока i_с в солено­иде, при котором исчезает анодный ток. По формуле (5.48) вычисляют критическое значение В_кр магнитной индукции.

Рис. 5.12. Зависимость силы тока i_а между катодом и ано­дом от магнитной индукции В поля в соленоиде