4. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции

Определение 1. Функция называется дифференцируемой в точке x₀, если существует производная функции f в точке x₀ .

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке x₀, если:

1) функция f определена в точке x₀;

2) существует предел функции f в точке x₀;

3) .

Теорема 2. Если функция дифференцируема в точке x₀ , то она непрерывна в точке x₀ .

Доказательство. Заметим, что условие равносильно условию , т.е. .

По определению дифференцируемости функции f в точке x₀ существует .

Следовательно, , т.е. функция f непрерывна в точке x₀. Теорема доказана.

Замечание 1. Непрерывность функции f в точке x₀ не является достаточным условием дифференцируемости функции f в точке x₀. Например, функция y = |x| непрерывна в точке x=0, но не имеет в этой точке производной.

Более того, существуют функции, непрерывные в каждой точке числовой прямой, но не имеющие производной ни в одной точке.

Замечание 2. Понятия непрерывности и дифференцируемости функции имеют достаточно наглядную геометрическую интерпретацию.

Если функция f непрерывна на промежутке (т.е. непрерывна в каждой точке этого промежутка) то график функции на этом промежутке можно изобразить, не отрывая изображающего инструмента (карандаша, ручки, мела и т.д.) от плоскости изображения (листа бумаги, доски и т.д.).

Если функция f дифференцируема на промежутке (т.е. имеет производную в каждой точке этого промежутка) то график функции на этом промежутке является гладкой кривой без разрывов и изломов.

Лекция 7 Тема 6: Производная

ПЛАН

1. Основные правила дифференцирования функций одной переменной.

2. Формулы производных основных элементарных функций.

3. Производная сложной функции.

1. Основные правила дифференцирования функций одной переменной

К правилам дифференцирования обычно относят правила, позволяющие по определенному алгоритму найти производную любой элементарной функции. Для этого достаточно знать таблицу формул производных основных элементарных функций, правила дифференцирования суммы, произведения и частного, правило дифференцирования композиции функций. Для вывода некоторых формул с выгодой применяется правило дифференцирования обратной функции.

Теорема 1. Если функции f и g дифференцируемы в точке x₀ , то:

1) их сумма f + g дифференцируема в точке x₀ , причем

;

2) их произведение f  g дифференцируемо в точке x₀ , причем

;

3) если g(x₀)0 , то их частное f / g дифференцируемо в точке x₀ , причем

.

Доказательство. Рассмотрим, например, функцию fg. Ее приращение

.

Следовательно,

.

2. Формулы производных основных элементарных функций

1. ,	2. ,
3. ,	4. ,
5. ,	6. ,
7. ,	8. ,
9. ,	10. ,
11.	12.
13. ,	14. .

Выведем, например, формулу 5:

.

3. Производная сложной функции

Теорема 1. Если функция f дифференцируема в точке x₀ , а функция g дифференцируема в точке f(x₀) , то композиция этих функций дифференцируема в точке x₀ , причем .

ЛЕКЦИЯ  8