Лекция 5 Тема 5: Предел и непрерывность

ПЛАН

1. Предел последовательности при n.

2. Предел функции при x.

3. Предел функции в точке.

4. Бесконечно малые и бесконечно большие величины.

1. Предел последовательности при n

Определение 1. Последовательностью называется функция, заданная на множестве натуральных чисел, т.е. a_n=f(n) при nN.

Обозначения: a_n: nN или (a_n).

Пример 1. a_n=1/n. a₁=1, a₂=1/2, a₃=1/3, a₄=1/4, …, a₁₀=1/10,…, a₁₀₀=1/100,… .

Можно показать, что эта последовательность является убывающей, ограниченной снизу (например, числом 0), и её элементы приближаются к числу 0 при неограниченном возрастании n.

Пример 2. a_n=(2n+1)/(3n+5). a₁=3/8, a₂=5/11, a₃=7/14, a₄=9/17, …, a₁₀=21/35,…, a₁₀₀=201/305,… .

Можно показать, что эта последовательность является возрастающей, ограниченной сверху (например, числом 1), и её элементы приближаются к числу 2/3 при стремлении n к бесконечности.

Понятие предела последовательности является характеристикой поведения элементов последовательности при возрастании их номеров.

Определение 2. Число A называется пределом последовательности (a_n), если элементы этой последовательности a_n приближаются (стремятся) к числу A при возрастании их номеров n.

Обозначения: a_nA при n или .

Например,   , . Более строго:

Определение 2. Число A называется пределом последовательности (a_n), если для любого положительного как угодно малого числа >0 существует номер N (зависящий от ) такой, что для всех членов последовательности с номерами n>N выполняется неравенство a_n-A< .

Заметим, что неравенство a_n-A< равносильно двойному неравенству A-<a_n<A+.

Определение 3. Последовательность (a_n) называется возрастающей, если для любого n выполняется неравенство a_n<a_n+1 .

Определение 4. Последовательность (a_n) называется убывающей, если для любого n выполняется неравенство a_n>a_n+1 .

Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными.

Определение 5. Последовательность (a_n) называется ограниченной, если существует число M>0 такое, что для любого n выполняется неравенство a_n<M.

Теорема 1. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Теорема 2. Пусть , и последовательность (c_n) такова, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство a_n  c_n  b_n. Тогда .

Замечание 1. При решении задачи на вычисление предела последовательности будем использовать не определение, а теоремы о пределах и известные пределы:

, , , .

Задача 1. Вычислить предел последовательности:

Задача 2. Вычислить предел последовательности: .

Решение. Имеет место неопределенность вида . Теоремы о пределах применить нельзя. Проведем тождественные преобразования, цель которых — получение последовательности, к которой можно применить теоремы о пределах.

Числитель и знаменатель дроби поделим на старшую степень n². Получим .

2. Предел функции при X

Определение 1. Число A называется пределом функции y=f(x) при x+, если значения функции f(x) приближаются (стремятся) к числу A при неограниченном возрастании аргумента x.

Обозначения: f(x)A при x + или . Более строго:

Определение 1. Число A называется пределом функции y=f(x) при x+, если для любого положительного как угодно малого числа >0 существует положительное число M>0 (зависящее от ) такое, что для всех значений аргумента xD(f), удовлетворяющих условию x>M, выполняется неравенство f(x)-A< .

Определение 2. Число A называется пределом функции y=f(x) при x-, если значения функции f(x) приближаются (стремятся) к числу A, когда аргумент x, оставаясь отрицательным, неограниченно возрастает по абсолютной величине.

Обозначения: f(x)A при x - или .

Определение 3. Число A называется пределом функции y=f(x) при x, если значения функции f(x) приближаются (стремятся) к числу A при неограниченном возрастании аргумента x по абсолютной величине.

Обозначения: f(x)A при x или .

Пример 1. Вычислить предел функции .

Пример 2. Выяснить, существует ли предел функции .

Решение. Имеет место неопределенность вида . Теоремы о пределах применить нельзя. Рассмотрим два случая.

Пусть x>0. Тогда . Следовательно: .

Е сли же x<0, то . Следовательно: .

Итак, функция не имеет предела при x  .