Лекция 11 Тема 10. Неопределенный интеграл

ПЛАН

1. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства.

2. Таблица основных интегралов.

3. Основные свойства неопределенного интеграла.

4. Метод интегрирования по частям.

5. Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

1. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства

Всякий раз, когда в математике рассматривается какая-либо операция, возникает вопрос об операции, обратной ей. При рассмотрении обратной операции возникает два основных вопроса: ее осуществимость и ее единственность.

После введения операции дифференцирования естественен вопрос об операции, обратной ей, которая называется операцией интегрирования.

Многие задачи естествознания приводят к необходимости отыскания функции по заданной производной этой функции. Например, нахождение закона движения материальной точки по заданной ее скорости или нахождение скорости материальной точки по заданному ее ускорению (которое, согласно второму закону Ньютона, можно определить по действующей на эту точку силе).

Определение 1. Пусть определена на промежутке I . Функция F называется первообразной для функции f на I, если для всех .

Так, функция есть первообразная функции на R.

С другой стороны, теорема Дарбу (функция принимает на все значения между и ) позволяет легко строить примеры функций, которые не имеют первообразных. Далее будет доказано, что всякая непрерывная на отрезке функция имеет первообразную.

Теорема 1. Пусть F - первообразная функции f на I. Тогда:

1) для любого функция является первообразной функции f на I;

2) если функция Ф также является первообразной функции f на I, то для некоторого числа .

Доказательство.

1)  для любого ;

2) рассмотрим функцию . Ее производная для любого . Отсюда следует, в силу условия постоянства функции на промежутке, что есть функция, принимающая на I некоторое постоянное значение С. Таким образом, для всех имеет место и, следовательно, .

Определение 2. Совокупность всех первообразных функций для функции f на промежутке I называется неопределенным интегралом функции f и обозначается .

Если F - какая-либо первообразная функции f, то из теоремы 1 следует, что . Это утверждение принято записывать так:

. Однако надо помнить, что всякое равенство, в обеих частях которого стоят неопределенные интегралы, есть равенство двух множеств.

Интегрирование в общем случае представляет собой значительно более сложную задачу, чем дифференцирование функции. Более того, имеется много элементарных функций, для которых первообразные не являются элементарными. Например, интегралы , , , , не выражаются через элементарные функции.

Далее изучим некоторые средства интегрирования тех элементарных функций, первообразные которых - также элементарные функции.

2. Таблица основных интегралов

Используя формулы производных основных элементарных функций, получаем:

1. . 2. .

3. , , ;если , то ;

если и , то .

4. , .

5. , . 6. ,

7. , . 8. , .

9. на каждом из интервалов , .

10. на каждом из интервалов , .

11. , 12. , .

В таблицу интегралов часто включают также следующие формулы, которые легко проверить непосредственным дифференцированием:

13. , .

14. , .

15. , .

16. , или .

17. , .

18. , .