Тема 7. Приложения производной

ПЛАН

1. Теорема Ролля и Лагранжа и их геометрический смысл.

2. Правило Лопиталя.

3. Достаточные признаки монотонности функции.

4. Необходимый признак экстремума. Достаточные признаки существования экстремума.

1. Теорема Ролля и Лагранжа и их геометрический смысл

Теоремы этого параграфа являются основным средством, с помощью которого локальное понятие производной оказывается эффективным орудием при исследовании поведения функции (как в окрестности отдельной точки, так и на промежутках области ее определения).

Теорема Ролля. Пусть функция :

1) определена и непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) .

Тогда существует такая точка , что .

Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что если функция f непрерывна на отрезке, дифференцируема внутри его и принимает на концах отрезка равные значения, то существует точка графика функции, в которой касательная параллельна оси Ox .

Теорема Лагранжа. Пусть функция :

1) определена и непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

Тогда существует такая точка , что .

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что если функция f непрерывна на отрезке и дифференцируема внутри его, то существует точка графика функции, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки и .

Замечание. Формулу Лагранжа часто записывают в виде

и говорят, что приращение дифференцируемой функции на отрезке равно произведению приращения аргумента на значение производной в некоторой промежуточной точке.

Порядок точек b и a несущественен: если , то , следовательно, .

Определение 1. Точка называется внутренней точкой множества , если существует окрестность точки , содержащаяся в E .

Определение 2. Точка называется граничной точкой множества , если в любой ее окрестности есть точки как принадлежащие множеству E, так и не принадлежащие ему.

Ясно, что точка является граничной точкой множества в том и только в том случае, если она является одновременно точкой прикосновения для множества E и его дополнения .

Теорема 2 (условие постоянства функции). Пусть функция f :

1) определена и непрерывна на промежутке I ;

2) во всех внутренних точках промежутка I имеет производную , равную 0.

Тогда функция f постоянна на промежутке I .

Доказательство. Зафиксируем точку . Пусть . Применим к функции f на отрезке с концами x₀ и x теорему Лагранжа: , где c - между x₀ и x . По условию теоремы, , следовательно, для всех , т.е. функция f постоянна на I .

2. Правило Лопиталя

При вычислении пределов функций для раскрытия неопределенностей вида и при стремлении аргумента к некоторому значению ( , , , , , ) нередко эффективно применяется прием, суть которого состоит в замене предела частного двух функций на предел частного их производных .

Отметим, что это возможно, если функции f и g удовлетворяют некоторым условиям. Сформулируем соответствующие теоремы для некоторых случаев.

Теорема 1. Пусть функции и :

1) являются бесконечно малыми при ;

2) дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности ;

3)  в .

Тогда, если существует , то существует , причем эти пределы равны.

Замечание 1. Если не существует, то из этого не следует, что не существует .

Замечание 2. После некоторых тождественных преобразований правило Лопиталя применимо для раскрытия неопределенностей вида , а нередко и для раскрытия неопределенностей вида .

Пример 1.  .