2. Признаки сравнения и признак Даламбера

сходимости знакоположительных рядов

Теорема 1 (признак сравнения рядов с положительными членами в неравенствах). Пусть и - ряды с неотрицательными членами, причем для каждого пN выполнено условие а_nb_n . Тогда:

1) из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами;

2) из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с большими членами.

Замечание 1. Теорема верна, если условие а_nb_n выполняется с некоторого номера NN .

Теорема 2 (признак сравнения рядов с положительными членами в предельной форме).

Пусть и - ряды с неотрицательными членами и существует . Тогда данные ряды сходятся или расходятся одновременно .

Теорема 3 (признак Даламбера). Пусть - ряд с положительными членами и существует .

Тогда ряд сходится при q1 и расходится при q>1 .

Доказательство. Пусть q1. Зафиксируем число р такое, что q p 1. По определению предела числовой последовательности, с некоторого номера NN выполняется неравенство a_n+1 /a_np, т.е. a_n+1 pa_n. Тогда a_N+1 pa_N , a_N+2 p²a_N . По индукции легко показать, что для любого kN верно неравенство , a_N+k p^ka_N . Но ряд сходится как геометрический ряд (p<1). Следовательно, по признаку сравнения рядов с неотрицательными членами, ряд также сходится. Следовательно, сходится и ряд (по теореме 2.2).

Пусть q>1. Тогда с некоторого номера NN верно неравенство a_n+1/a_n>1, т.е. a_n+1>a_n . Следовательно, с номера N последовательность (a_n) является возрастающей и условие не выполнено. Отсюда, по следствию2.1, вытекает расходимость ряда при q>1.

3. Интегральный признак сходимости числовых рядов

Теорема 1 (интегральный признак Коши). Пусть - ряд с неотрицательными членами и существует непрерывная, невозрастающая, неотрицательная функция y=f(x), определенная на такая, что f(n)=a_n для всех nN. Тогда ряд и несобственный интеграл первого рода сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Сходимость интеграла функции f, удовлетворяющей условиям теоремы, равносильна существованию предела последовательности , т.е. сходимости ряда

для которого интеграл является (п-1)-ой частичной суммой. Осталось показать, что ряды и сходятся или расходятся одновременно.

В силу монотонности f для любого nN при всех x[n;n+1] выполняются неравенства a_n+1=f(n+1)f(x)f(n)=a_n . Следовательно,

для любого nN .

Если сходится ряд , то, по признаку сравнения, сходится и ряд с меньшими членами .

Обратно: если сходится ряд , то, по признаку сравнения, сходится и ряд с меньшими членами . Следовательно, по теореме 2.2, сходится и ряд . Теорема доказана.

Замечание 1. С помощью интегрального признака несложно проверить, что числовой ряд сходится, если а>1, и расходится, если a1. Ряд называется гармоническим рядом, а ряд с произвольным R называется обобщенным гармоническим рядом.

4. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимости рядов

Исследование рядов с членами произвольных знаков представляет более трудную задачу, однако в двух случаях есть удобные признаки: для знакочередующихся рядов - теорема Лейбница; для абсолютно сходящихся рядов применим любой признак исследования рядов с неотрицательными членами.

Определение 1. Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два соседних члена имеют противоположные знаки, т.е. ряд имеет вид или , где a_n>0 для каждого nN .

Теорема 1 (Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если:

1) (a_n) - невозрастающая последовательность;

2)  при .

При этом модуль суммы знакочередующегося ряда не превосходит модуля его первого члена, т.е. S a₁ .

Доказательство. Пусть ряд имеет вид . Рассмотрим последовательность . Она является неубывающей, так как для любого nN выполняется условие , и ограниченной сверху, так как для любого nN выполняется условие . Следовательно, последовательность сходится. Пусть . Тогда . Отсюда получаем, что последовательность сходится к S, т.е. ряд сходится и имеет сумму S.

Заметим также, что , следовательно, для любого nN выполняется условие . Аналогичными рассуждениями доказывается, что , следовательно, . Если же ряд имеет вид , то . Следовательно, в общем случае выполняется неравенство . После предельного перехода при получаем , что и требовалось доказать.

Следствие 1. Модуль остатка знакочередующегося ряда типа Лейбница не превосходит модуля его первого члена, т.е. .

Определение 2. Если сходится ряд , то ряд называется абсолютно сходящимся.

Теорема 2. Если сходится ряд , то ряд также сходится.

Например, ряд является абсолютно сходящимися, так как ряд сходится по признаку сравнения, ибо для любого nN, а ряд сходится (a=2>1) .

Абсолютно сходящиеся ряды имеют ряд важных свойств, которыми обладают конечные суммы чисел:

- слагаемые можно переставлять местами;

- слагаемые можно группировать разными способами;

- суммы рядов можно перемножать.

Определение 3. Ряд называется перестановкой ряда , если существует биекция такая, что для любого nN .

Теорема 3. Если ряд абсолютно сходится, то сходится, и притом абсолютно, любая перестановка данного ряда, и их суммы совпадают.

Определение 4. Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся .

Ряд является условно сходящимся. Действительно, ряд сходится (по теореме Лейбница), а ряд расходится.

Теорема 4  (Римана).  Если числовой ряд условно сходится, то для любого существует такой числовой ряд , полученный перестановкой членов ряда , что ряд сходится и его сумма равна C .