3. Теорема Кронекера-Капелли. Условие определенности и неопределенности совместной системы линейных уравнений

Пусть дана система m линейных уравнений с n переменными:

.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы:

1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, то система имеет единственное решение.

2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, то система имеет бесконечное множество решений.

Замечание. На практике обычно производят (методом Гаусса) преобразования расширенной матрицы системы, что позволяет одновременно решить вопрос о совместности и определенности системы линейных уравнений.

4. Векторы. Операции над векторами. Понятие о векторном пространстве и его базисе

Определение 1. Вектором называется направленный отрезок AB с начальной точкой A и конечной точкой B (который можно перемещать параллельно самому себе).

Определение 2. Длиной вектора AB называется число AB, равное длине отрезка AB, изображающего вектор.

Определение 3. Произведением вектора a на число  называется вектор b= a, имеющий длину b=a, направление которого совпадает с направлением вектора a, если >0, и противоположно ему, если <0.

Определение 4. Суммой двух векторов a и b называется вектор c=a+b, начало которого совпадает с началом вектора a, а конец - с концом вектора b при условии, что начало вектора b совпадает с концом вектора a. Вектор c в этом случае представляет собой диагональ параллелограмма, построенного на векторах a и b (правило параллелограмма).

Разностью двух векторов a и b называется сумма вектора a и вектора (-1)b.

Определение 5. Координатами вектора a называются координаты его конечной точки, если так переместить вектор параллельно самому себе, чтобы его начало совпало с началом координат

Суммой и разностью векторов a(x₁, y₁, z₁) и b(x₂, y₂, z₂) являются соответственно векторы c=a+b=(x₁+x₂, y₁+y₂, z₁+z₂) и d=a-b=(x₁-x₂, y₁-y₂, z₁-z₂). Произведение вектора a=(x₁, y₁, z₁) на число , есть вектор b=( x₁,  y₁,  z₁).

Длина вектора a(x, y, z) вычисляется по формуле a = 

Определение 6. n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде x = (x₁, x₂, … x_n), где x_i есть i-ая компонента вектора x.

Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, то есть x = у, если x_i = y_i, для  = 1, 2, … , n.

Определение 7. Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор z = х + у, компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, то есть z_i = x_i + y_i для  = 1, 2, … , n.

Определение 8. Произведением вектора x на действительное число  называется вектор u= x, компоненты u_i которого равны произведению  на соответствующие компоненты вектора x, т u_i =  x_i  для  = 1, 2, … , n.

Определение 9. Векторным пространством называется множество векторов R с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие определенным свойствам.

Определение 10. Вектор a называется линейной комбинацией векторов a₁, a₂, … a_m векторного пространства R, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа: a = ₁x_i + ₂x₂ + … + _mx_m где ₁, ₂, … _m произвольные действительные числа.

Определение 11. Векторы a₁, a₂, … , a_m векторного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа ₁, ₂, … _m, не равные нулю одновременно, что ₁x_i + ₂x₂ + … + _mx_m = 0. В противном случае векторы a₁, a₂, … , a_m называются линейно независимыми.

Определение 12. Линейное пространство Rⁿ называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из (n + 1) векторов являются линейно зависимыми

Определение 13. Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства Rⁿ называется базисом.