2. Ранг матрицы и его вычисление с помощью элементарных преобразований

Определение 1. Пусть задана матрица А размером mn и число k  min (m, n). Минором k-го порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы k-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием каких-либо m-k строк и n-k столбцов.

Например, из матрицы А размером 34 можно получить миноры 1-го, 2-го и 3-го порядков.

Определение 2. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Ранг матрицы А обозначается символом rang(A) или r(A).

Ясно, что: 1) r(A)  min (m, n);

2) r(A)=0  А - нулевая матрица;

3) если А - квадратная матрица n-го порядка, то r(A)=n  A0.

Определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоемко. Для облегчения решения этой задачи используют преобразования, сохраняющие ранг матрицы.

Определение 3. Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:

1) отбрасывание нулевой строки (столбца);

2) умножение всех элементов строки (столбца) на число, не равное нулю;

3) транспонирование матрицы;

4) изменение порядка строк (столбцов) матрицы;

5) прибавление к каждому элементу строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

Теорема. Ранг матрицы при элементарных преобразованиях не изменяется.

Доказательство. Из свойств 1-4, 8 определителей следует, что при элементарных преобразованиях квадратных матриц их определители либо сохраняются, либо умножаются на число, не равное нулю. Таким образом, сохраняется наивысший порядок отличных от нуля миноров данной матрицы.

Обычно с помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к ступенчатому виду, при котором легко определяется ранг матрицы.

Определение 4. Матрица А называется ступенчатой, если она имеет вид , где a_ii0 при i=1, 2, ..., r ; rk.

Легко получить, что ранг ступенчатой матрицы равен r.

3. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы

Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк или столбцов.

Пусть дана матрица . Для ее строк введем обозначения: e₁=(a₁₁, a₁₂, ... , a_1n), e₂=(a₂₁, a₂₂, ... , a_2n), ..., e_m=(a_m1, a_m2, ... , a_mn) .

Две строки матрицы называются равными, если равны их соответствующие элементы.

Операции умножения строки на число и сложения строк вводятся как операции проводимые поэлементно.

Определение 1. Строка е называется линейной комбинацией строк e₁, e₂, ... , e_s, матрицы, если е=₁e₁+₂ e₂+ ... +_s e_s, где ₁, ₂, ... , _s - произвольные числа.

Определение 2. Строки матрицы e₁, e₂, ... , e_s называются линейно зависимыми, если существуют такие числа ₁, ₂, ... , _s не равные нулю одновременно, что линейная комбинация ₁e₁+₂ e₂+ ... +_s e_s равна нулевой строке.

Линейная зависимость всех строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных строк.

Определение 3. Строки матрицы e₁, e₂, ... , e_s называются линейно независимыми, если их линейная комбинация ₁e₁+₂ e₂+ ... +_s e_s равна нулевой строке тогда и только тогда, когда все коэффициенты ₁, ₂, ... , _s равны нулю.

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).