5. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.

Определение 1. n-мерный вектор x  0 называется собственным вектором матрицы A размера n  n, если существует такое число , что Ax = x. Число  называется собственным значением матрицы A, соответствующим вектору x.

Можно доказать, что ненулевое решение уравнения Ax = x существует тогда и только тогда, когда определитель A - E=0, где E - единичная матрица n –го порядка.

Определение 2. Характеристическим многочленом матрицы A называется определитель A - E, который фактически является многочленом n-ой степени относительно переменной .

Определение 3. Характеристическим уравнением матрицы A называется уравнение A - E=0. Корни этого уравнения являются собственными значениями матрицы A.

Собственный вектор, соответствующий собственному значению , может быть найден как решение матричного уравнения (A - E)x = 0.

Лекция 4 Тема 4: Функции

ПЛАН

1. Основные виды уравнения прямой на плоскости.

2. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование.

3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

1. Основные виды уравнения прямой на плоскости

Определение 1. Уравнением линии на плоскости Oxy называется уравнение F(x,y)=0, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки линии и только они.

Если из этого уравнения выразить переменную y, то получится уравнение y=f(x).

Если линии заданы уравнениями, то точкой пересечения двух линий называется любая точка, координаты x и y которой удовлетворяют уравнениям, т.е. являются решением системы двух уравнений.

Основные виды уравнений прямой на плоскости:

1) у=0 - уравнение оси Ох; y=b - уравнение прямой, параллельной оси Ох;

2) х=0 - уравнение оси Оу; х=а - уравнение прямой, параллельной оси Оу;

3) y=кх - уравнение прямой, проходящей через начало координат, с угловым коэффициентом k=tg, где - угол наклона прямой к оси Ох;

4) y=кх+b - уравнение прямой с угловым коэффициентом k=tg, где - угол наклона прямой к оси Ох.

y-y₀=k(x-x₀) - уравнение прямой, проходящей через точку (x₀,y₀) и имеющей угловой коэффициент k.

- уравнение прямой, проходящей через две данные точки (x₁,y₁) и (x₂,y₂) , если x₁x₂ и y₁y₂ .

2. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование

Определение 1. Уравнение с двумя переменными Ax+By+C=0, где А и В не равны 0 одновременно, называется общим уравнением прямой на плоскости.

Теорема 1. Любая прямая на плоскости может быть задана общим уравнением.

Если В0, то , т.е. y=кх+b . При этом:

а) если А=0, то y=b;

б) если А=0 и С=0, то y=0;

в) если С=0, то y=кх .

Если В=0 и А0, то , т.е. х=а - если С0 и х=0 - если С=0.

3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Угол между прямыми

Пусть две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами y=к₁х+b₁ и y=к₂х+b₂, т.е. k₁=tg₁ и k₂=tg₂ , где ₁ и ₂ - углы наклона прямых к оси Ох.

Рассмотрим угол =₂-₁ - угол между данными прямыми. Тогда, по формуле тангенса разности, , т.е. .

Если прямые параллельны, то =0 , tg=0.

Итак, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов, т.е. k₁= k₂ .

Если прямые перпендикулярны, то =/2 , ctg=0.

Итак, условием перпендикулярности двух прямых является равенство k₁ k₂ =-1.

Замечание. Можно показать, что если две прямые заданы общими уравнениями A₁x+B₁y+C₁=0 и A₂x+B₂y+C₂=0 , то:

условие параллельности — ;

условие перпендикулярности — A₁A₂+B₁B₂=0.