3. Основные свойства неопределенного интеграла

1. ; 2. ;

3. ; 4. .

Проверим, например, свойство 2). Пусть F - первообразная функции f, G- первообразная функции g на промежутке I. Это значит, что и для . Следовательно, , то есть есть первообразная функции .

Итак, .

Но , где

- такая же произвольная постоянная, как и С.

4. Метод интегрирования по частям

Теорема 1. Пусть функции и имеют на промежутке I непрерывные производные. Тогда: .

Доказательство. Формула интегрирования по частям основана на правиле дифференцирования произведения двух функций: . Функции, по условию теоремы, непрерывны, следовательно, существуют интегралы , . Тогда ; следовательно, . Так как интеграл уже содержит произвольную постоянную, то в полученном равенстве С можно опустить. Теорема доказана.

Пример 1. Выведем формулу 17 таблицы интегралов.

= .

Следовательно, .

Разделив обе части этого равенства на два, получаем формулу 17.

5. Метод замены переменной в неопределенном интеграле

Метод замены переменной основан на правиле дифференцирования сложной функции.

Теорема. Пусть функция x=(t) имеет непрерывную производную, тогда

.

Доказательство. Пусть F(x) – первообразная для функции f(x), т.е. . Следовательно, по правилу дифференцирования сложной функции, имеем

.

Тогда . Теорема доказана.

Следствие. Из теоремы следует, что следующее формальное преобразование является истинным:

.

Замечание 1. Нередко формула для интегрирования заменой переменной находится после выбора некоторой функции , удобной для преобразования подынтегральной функции, но не позволяющей применить метод интегрирования подстановкой.

Пример 1.  

.

Замечание 2. Однако чаще формула теоремы применяется в другую сторону:

.

Эта формула нередко называется методом интегрирования подстановкой. Подчеркнем, что метод подстановки эффективен в том случае, если подынтегральная функция может быть представлена в виде , т.е. если подынтегральная функция содержит в качестве множителя производную ( ) того выражения , которое обозначается через новую переменную t.

Пример 2.   .

Замечание 3. Третье свойство первообразной является частным случаем метода подстановки.

Пример 3.   .

Лекция 12 Тема 11. Определенный интеграл

ПЛАН

1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы.

2. Свойства определенного интеграла.

3. Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.

4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Очень многие задачи различных наук (математики, физики, экономики и других наук) приводят к необходимости вычисления для данной функции на некотором отрезке предела сумм специального вида. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.

Пусть функция f определена на отрезке .

1. Набор точек таких, что называется разбиением отрезка и обозначается символом Т.

Диаметром разбиения Т называется число , где . Заметим, что (k=1,2,…,n) и .

2. Для каждого k1,2,…,n на отрезке выберем произвольную точку .

3. Интегральной суммой функции f на , соответствующей разбиению Т и точкам ₁, ₂, …, _n, называется число .

Определение 1. Определенным интегралом функции f на отрезке называется предел интегральных сумм функции f на при стремлении к нулю диаметра разбиения, если предел существует, не зависит от способа разбиения отрезка , не зависит от выбора точек .

Обозначение: . При этом функция называется подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, числа a и b - пределами интегрирования (a - нижний предел, b - верхний предел).

Определение 2. Если существует определенный интеграл функции f на отрезке , то функция f называется интегрируемой на отрезке .

Теорема 1. Если функция f непрерывна на отрезке , то f интегрируема на нем.