- •Лекция 1 Тема 1: Матрицы и определители
- •1. Виды матриц. Равенство матриц. Действия над матрицами
- •2. Определители квадратных матриц
- •3. Свойства определителей
- •4. Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца
- •Лекция 2 Тема 1: Матрицы и определители
- •1. Матрица, обратная данной, алгоритм ее вычисления
- •2. Ранг матрицы и его вычисление с помощью элементарных преобразований
- •3. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы
- •Лекция 3 Тема 2: Системы линейных уравнений Тема 3: Векторы
- •1. Виды систем линейных уравнений
- •2. Решение системы n линейных уравнений с n переменными:
- •3. Теорема Кронекера-Капелли. Условие определенности и неопределенности совместной системы линейных уравнений
- •4. Векторы. Операции над векторами. Понятие о векторном пространстве и его базисе
- •5. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.
- •Лекция 4 Тема 4: Функции
- •1. Основные виды уравнения прямой на плоскости
- •2. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование
- •3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •Лекция 5 Тема 5: Предел и непрерывность
- •1. Предел последовательности при n
- •2. Предел функции при X
- •3. Предел функции в точке
- •4. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •Лекция 6 Тема 5: Предел и непрерывность Тема 6: Производная
- •1. Второй замечательный предел, число е
- •2. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •3. Производная и её геометрический смысл
- •4. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции
- •Лекция 7 Тема 6: Производная
- •1. Основные правила дифференцирования функций одной переменной
- •Тема 7. Приложения производной
- •2. Правило Лопиталя
- •3. Достаточные признаки монотонности функции
- •4. Необходимый признак экстремума. Достаточные признаки существования экстремума
- •Лекция 9 Тема 7. Приложения производной. Тема 8. Дифференциал функции
- •1. Асимптоты графика функции
- •2. Общая схема исследования функций и построения их графиков
- •3. Дифференциал функции и его геометрический смысл
- •Лекция 10 Тема 9. Функции нескольких переменных
- •1. Функции нескольких переменных. Частные производные
- •2. Экстремум функции нескольких переменных и его необходимое условие
- •3. Понятие об эмпирических формулах и способе наименьших квадратов
- •Лекция 11 Тема 10. Неопределенный интеграл
- •1. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства
- •Доказательство.
- •2. Таблица основных интегралов
- •3. Основные свойства неопределенного интеграла
- •4. Метод интегрирования по частям
- •5. Метод замены переменной в неопределенном интеграле
- •Лекция 12 Тема 11. Определенный интеграл
- •1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы
- •2. Свойства определенного интеграла
- •3. Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница
- •4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •Лекция 13 Тема 12. Геометрические приложения определенного интеграла Тема 13. Дифференциальные уравнения
- •1. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла
- •2. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решения
- •3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •4. Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и их решения
- •Лекция 14 Тема 14. Числовые ряды
- •1. Определение числового ряда. Сходимость числового ряда
- •2. Признаки сравнения и признак Даламбера
- •3. Интегральный признак сходимости числовых рядов
- •4. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимости рядов
- •Лекция 15 Тема 15. Степенные ряды
- •1. Степенной ряд и его область сходимости
- •2. Условия разложения функции в степенной ряд. Ряд Маклорена
- •4. Приближенное вычисление значений функций и определенных интегралов с помощью степенных рядов
- •Методические указания к практическим занятиям
- •Методические указания к выполнению контрольных работ.
- •Математика
Лекция 13 Тема 12. Геометрические приложения определенного интеграла Тема 13. Дифференциальные уравнения
ПЛАН
1. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.
2. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решения.
3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
4. Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и их решения.
1. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла
Определение 1. Криволинейной трапецией, порожденной графиком неотрицательной функции f на отрезке , называется фигура, ограниченная отрезком оси абсцисс, отрезками прямых , и графиком функции на .
Введем далее понятие площади такой фигуры и одновременно правило ее вычисления.
1. Разобьем отрезок точками на частичные отрезки.
2. В каждом отрезке (где k=1,2,...,n) выберем произвольную точку .
3. Вычислим площади прямоугольников, у которых основания есть отрезки оси абсцисс, а высоты имеют длины . Тогда площадь ступенчатой фигуры, образованной этими прямоугольниками, равна .
Заметим, что чем меньше длины частичных отрезков, тем более ступенчатая фигура по расположению близка к данной криволинейной трапеции. Поэтому естественно дать следующее определение.
Определение 2. Площадью криволинейной трапеции, порожденной графиком неотрицательной функции f на отрезке , называется предел (при стремлении к 0 длин всех частичных отрезков) площадей ступенчатых фигур, если:
1) этот предел существует и конечен;
2) не зависит от способа разбиения отрезка на частичные отрезки;
3) не зависит от выбора точек .
Теорема 1. Если функция непрерывна и неотрицательна на отрезке , то криволинейная трапеция F, порожденная графиком функции f на , имеет площадь, которая вычисляется по формуле .
С помощью определенного интеграла можно вычислять площади плоских фигур и более сложного вида.
Если f и g - непрерывные и неотрицательные на отрезке функции, причем для всех x из отрезка выполняется неравенство , то площадь фигуры F,ограниченной прямыми , и графиками функций , , вычисляется по формуле .
Замечание. Если отбросить условие неотрицательности функций f и g, последняя формула остается верной.
2. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решения
Теория дифференциальных уравнений возникла в конце 17 века под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин, по существу одновременно с интегральным и дифференциальным исчислением.
Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида , в котором - неизвестная функция.
Определение 2. Функция называется решениям дифференциального уравнения на промежутке I , если при подстановке этой функции и ее производных дифференциальное уравнение обращается в тождество.
Решить дифференциальное уравнение - это найти все его решения.
Определение 3. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой дифференциального уравнения.
Определение 4. Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида .
Определение 5. Уравнение вида называется дифференциальным уравнением 1-го порядка, разрешенным относительно производной.
Как правило, любое дифференциальное уравнение имеет бесконечно много решений. Чтобы выделить из совокупности всех решений какое-либо одно, надо наложить дополнительные условия.
Определение 6. Условие вида , накладываемое на решение дифференциального уравнения 1-го порядка, называется начальным условием, или условием Коши.
Геометрически это означает, что соответствующая интегральная кривая проходит через точку .
Определение 7. Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка на плоской области D называется однопараметрическое семейство функций , удовлетворяющее условиям:
1) для любого функция является решением уравнения;
2) для каждой точки существует такое значение параметра , что соответствующая функция является решением уравнения, удовлетворяющим начальному условию .
Определение 8. Решение, получаемое из общего решения при некотором значении параметра, называется частным решением дифференциального уравнения.
Определение 9. Особым решением дифференциального уравнения называется всякое решение, которое не может быть получено из общего решения ни при каком значении параметра.
Решение дифференциальных уравнений - очень сложная задача, и, вообще говоря, чем выше порядок уравнения, тем труднее указать способы решения уравнения. Даже для дифференциальных уравнений первого порядка удается лишь в небольшом числе частных случаев указать приемы нахождения общего решения. Более того, и в этих случаях искомое решение не всегда является элементарной функцией.
Одна из основных задач теории дифференциальных уравнений, впервые изучавшаяся О. Коши, состоит в отыскании решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.
Например, всегда ли существует решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию , и будет ли оно единственным? Вообще говоря, ответ отрицательный. В самом деле, уравнение , правая часть которого непрерывна на всей плоскости, имеет решения y=0 и y=(x+C)3 , CR . Следовательно, через любую точку оси Ох проходит две интегральные кривые.
Таким образом, функция должна удовлетворять некоторым требованиям. В следующей теореме содержится один из вариантов достаточных условий для существования и единственности решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .
Теорема 1. Пусть функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области D на плоскости хОу, точка .
Тогда в некотором интервале, содержащем х0 , существует, и притом единственное, решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .