4. Приближенное вычисление значений функций и определенных интегралов с помощью степенных рядов

Разложение функций в степенные ряды с успехом применяется для решения различных задач, например:

• вычисление сумм числовых рядов;

• вычисление значений аналитических функций;

• вычисление интегралов (определенных и несобственных);

• вычисление пределов функций;

• решение некоторых типов алгебраических уравнений;

• решение некоторых типов дифференциальных уравнений.

Вычисление искомой величины сводится к приближенному вычислению суммы S некоторого сходящегося числового ряда. Если требуется вычислить S с заданной точностью >0, то тем или иным способом подбирают номер n так, чтобы выполнялось условие , где S_n  это n-я частичная сумма, а R_n  n-й остаток числового ряда. Тогда с точностью до >0.

Для знакочередующегося ряда типа Лейбница имеем .

Для положительного ряда оценка погрешности при приближенном вычислении суммы значительно сложнее. Один из основных методов в таком случае  это замена остатка ряда геометрическим рядом с большей суммой.

Задача 1. Вычислить , используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена. Взять три члена разложения. Оценить погрешность.

Решение. Используя известное разложение функции ln(1+x) в степенной ряд, получаем: .

Применяя теорему о почленном интегрировании на отрезке [0;0,1], лежащем в интервале сходимости (-1;1) полученного степенного ряда, и вычисляя определенные интегралы по формуле Ньютона-Лейбница, выражаем данный интеграл как сумму числового ряда:

.

Получаем , т.к. погрешность при приближенном вычислении суммы знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, не превышает абсолютной величины первого отброшенного члена .

Ответ.  .

Замечание. Известно, что .

Задача 2. Вычислить с точностью до 0,001.

Решение. Используя известное разложение в степенной ряд функции получаем: , где x(-1;1) .

При получаем: .

Следовательно, остаток ряда

. Ясно, что R_n<10^-3, если .

Итак, .

Ответ.   0,693 с точностью до 0,001. ( ).

Министерство образования и науки РФ

Негосударственная образовательная организация высшего профессионального образования

некоммерческое партнерство

«Тульский институт экономики и информатики»

Кафедра «Наименование кафедры»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ПРАКТИЧЕСКИМ (СЕМИНАРСКИМ) ЗАНЯТИЯМ

ПО дисциплине: «Математика»

Специальность: 230700 «Прикладная информатика»

Формы обучения (очная)

Тула 2011г.

Методические указания по СРС составлены доцентом, к.т.н.Липатовой И.Е. и обсуждены на заседании кафедры «Естестественнонаучных и гуманитарных дисциплин протокол № от " " 20 г.

Зав. кафедрой Е.А. Вишнякова

Методические указания по СРС пересмотрены и утверждены на заседании кафедры название кафедры факультета название факультета.

протокол № от " " 20 г.

Зав. кафедрой Е.А. Вишнякова