3. Предел функции в точке

Определение 1. Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x=x₀, если значения функции f(x) приближаются (стремятся) к числу A, когда значения аргумента x приближаются (стремятся) к числу x₀ (xx₀).

Обозначения: или f(x)A при xx₀ . Более строго:

Определение 1'. Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x=x₀, если для любого как угодно малого числа >0 существует такое число >0, выбираемое в зависимости от , что для всех значений аргумента x, удовлетворяющих неравенству x-x₀<, соответствующее значение функции удовлетворяет неравенству f(x)-A<.

Заметим, что не всякая функция имеет предел в заданной точке.

При нахождении предела функции используется два основных способа:

1. по определению; например, для доказательства или .

2. с использованием известных пределов и (или) теорем о пределах.

Теорема 1. Если функция y=f(x) имеет предел в точке x=x₀, то только один.

Теорема 2. Пусть , и в некоторой проколотой окрестности точки x₀ выполняется неравенство f(x)h(x)g(x) . Тогда: ;

Теорема 3. Пусть , . Тогда:

1. ;

2. ;

3. (если B0).

4. Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Среди всех последовательностей, имеющих предел, выделяют последовательности, предел которых равен 0. Последовательность называют бесконечно малой последовательностью (б.м.п.), если её предел равен 0.

Среди всех функций, имеющих предел в точке x=x₀, наибольшее значение имеют функции, предел которых в этой точке равен 0. Функция y=(x) называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при xx₀ , если .

Теорема 1. Сумма двух б.м.п. (б.м.ф.) есть б.м.п. (б.м.ф.)

Теорема 2. Произведение б.м.п. (б.м.ф.) на ограниченную последовательность (функцию) есть б.м.п. (б.м.ф.)

Теорема 3. Произведение двух б.м.п. (б.м.ф.) есть б.м.п. (б.м.ф.)

Последовательность, которая не имеет предела, называется расходящейся последовательностью.

Пример 1. a_n=(-1)ⁿ. a₁ = -1, a₂ = 1, a₃ = -1, a₄ = 1, … .

Замечание 1. Среди всех расходящихся последовательностей выделяют так называемые бесконечно большие последовательности (б.б.п.), элементы которых неограниченно возрастают по абсолютной величине при возрастании их номеров.

Пример 2. a_n = n. a₁ = 1, a₂ = 2, a₃ = 3, a₄ = 4, … (положительная б.б.п.).

Пример 3. a_n = -n². a₁ = -1, a₂ = -4, a₃ = -9, a₄ = -16, … (отрицательная б.б.п.).

Пример 4. a_n = (-1)ⁿn. a₁ = -1, a₂ = 2, a₃ = -3, a₄ = 4, … (б.б.п.).

Теорема 1. 1) если (_n) — б.м.п., то (1/_n) — б.б.п.;

2) если (_n) — б.б.п., то (1/_n) — б.м.п.

Пример 5.  есть б.б.п., т.к. .

Замечание 2. Среди всех функций, не имеющих предел в точке x=x₀, выделяют бесконечно большие функции. Функция y=(x) называется бесконечно большой функцией (б.б.ф.) при xx₀, если значения функции неограниченно возрастают по модулю при xx₀.

Теорема 2. 1) если y=(x) – б.м.ф. при xx₀, то 1/(x) – б.б.ф. при xx₀;

2) если y=(x) – б.б.ф. при xx₀, то 1/(x) – б.м.ф. при xx₀

Лекция 6 Тема 5: Предел и непрерывность Тема 6: Производная

ПЛАН

1. Второй замечательный предел, число е.

2. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

3. Производная и её геометрический смысл.

4. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.