- •Лекция 1 Тема 1: Матрицы и определители
- •1. Виды матриц. Равенство матриц. Действия над матрицами
- •2. Определители квадратных матриц
- •3. Свойства определителей
- •4. Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца
- •Лекция 2 Тема 1: Матрицы и определители
- •1. Матрица, обратная данной, алгоритм ее вычисления
- •2. Ранг матрицы и его вычисление с помощью элементарных преобразований
- •3. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы
- •Лекция 3 Тема 2: Системы линейных уравнений Тема 3: Векторы
- •1. Виды систем линейных уравнений
- •2. Решение системы n линейных уравнений с n переменными:
- •3. Теорема Кронекера-Капелли. Условие определенности и неопределенности совместной системы линейных уравнений
- •4. Векторы. Операции над векторами. Понятие о векторном пространстве и его базисе
- •5. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.
- •Лекция 4 Тема 4: Функции
- •1. Основные виды уравнения прямой на плоскости
- •2. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование
- •3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •Лекция 5 Тема 5: Предел и непрерывность
- •1. Предел последовательности при n
- •2. Предел функции при X
- •3. Предел функции в точке
- •4. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •Лекция 6 Тема 5: Предел и непрерывность Тема 6: Производная
- •1. Второй замечательный предел, число е
- •2. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •3. Производная и её геометрический смысл
- •4. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции
- •Лекция 7 Тема 6: Производная
- •1. Основные правила дифференцирования функций одной переменной
- •Тема 7. Приложения производной
- •2. Правило Лопиталя
- •3. Достаточные признаки монотонности функции
- •4. Необходимый признак экстремума. Достаточные признаки существования экстремума
- •Лекция 9 Тема 7. Приложения производной. Тема 8. Дифференциал функции
- •1. Асимптоты графика функции
- •2. Общая схема исследования функций и построения их графиков
- •3. Дифференциал функции и его геометрический смысл
- •Лекция 10 Тема 9. Функции нескольких переменных
- •1. Функции нескольких переменных. Частные производные
- •2. Экстремум функции нескольких переменных и его необходимое условие
- •3. Понятие об эмпирических формулах и способе наименьших квадратов
- •Лекция 11 Тема 10. Неопределенный интеграл
- •1. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства
- •Доказательство.
- •2. Таблица основных интегралов
- •3. Основные свойства неопределенного интеграла
- •4. Метод интегрирования по частям
- •5. Метод замены переменной в неопределенном интеграле
- •Лекция 12 Тема 11. Определенный интеграл
- •1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы
- •2. Свойства определенного интеграла
- •3. Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница
- •4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •Лекция 13 Тема 12. Геометрические приложения определенного интеграла Тема 13. Дифференциальные уравнения
- •1. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла
- •2. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решения
- •3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •4. Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и их решения
- •Лекция 14 Тема 14. Числовые ряды
- •1. Определение числового ряда. Сходимость числового ряда
- •2. Признаки сравнения и признак Даламбера
- •3. Интегральный признак сходимости числовых рядов
- •4. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимости рядов
- •Лекция 15 Тема 15. Степенные ряды
- •1. Степенной ряд и его область сходимости
- •2. Условия разложения функции в степенной ряд. Ряд Маклорена
- •4. Приближенное вычисление значений функций и определенных интегралов с помощью степенных рядов
- •Методические указания к практическим занятиям
- •Методические указания к выполнению контрольных работ.
- •Математика
1. Второй замечательный предел, число е
Рассмотрим последовательность . Вычислим a1=2, , ,… . Можно доказать, что последовательность является возрастающей и ограниченной сверху, следовательно, имеет предел (по теореме о сходимости монотонной ограниченной последовательности). Обозначим предел буквой е.
Определение 1. Числом e называется предел последовательности .
Известно, что число e является иррациональным числом и e=2,718281828459045…
Можно доказать также, что . Этот предел и называется вторым замечательным пределом. Обратим внимание, что переменная x принимает значения произвольного знака, следовательно, и .
Замечание 1. Второй замечательный предел широко используется при вычислении пределов для раскрытия неопределенностей вида (1).
Замечание 2. Второй замечательный предел часто используется в другой форме. Обозначим 1/x=y, тогда x=1/y (x y0). Следовательно, .
Известно, что логарифмическая функция y=logax является обратной к показательной функции y=ax.
Определение 2. Натуральным логарифмом (логарифмической функцией с основанием e) называется функция, обратная к показательной функции y=еx и обозначается y=lnx.
Напомним основные свойства функции y=lnx:
область определения функции промежуток (0;+);
множество значений функции вся числовая прямая (-;+);
функция lnx возрастает на (0;+);
функция lnx непрерывна в любой точке x(0;+);
, .
2. Свойства функций, непрерывных на отрезке
Определение 1. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x=x0, если .
Можно доказать, что любая элементарная функция непрерывна в любой точке своей области определения. Напомним, что функция называется элементарной, если она может быть получена из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, умножения, деления и композиции функций. К основным элементарным функциям обычно относят степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Определение 2. Функция y=f(x) называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
3. Производная и её геометрический смысл
Очень многие задачи естествознания (математики, физики, химии, биологии и других наук) приводят к необходимости вычисления для заданной функции пределов специального вида, которые характеризуют скорость изменения значений функции.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Пусть Разность называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке x0 и обозначается x. Итак, . Следовательно, .
Приращением функции f в точке x0, соответствующим приращению x, называется разность и обозначается или просто f. При фиксированном значении x0 приращение функции f есть функция от x.
Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Производной функции f в точке x0 называется предел , если он существует и конечен.
Обозначения: , , , .
Заметим, что производная функции в точке – это число.
Выясним геометрический смысл производной функции f в точке x0. Прямая ММ0, проходящая через точки М0(x0; f(x0)) , М(x; f(x)) при , называется секущей графика. Положение секущей определяется точкой М0 и угловым коэффициентом секущей . Если , то точка М, перемещаясь по графику, приближается к точке М0. Возможно получится так, что секущая будет приближаться к некоторому определенному положению М0N.
Определение 2. Если существует предельное положение секущей ММ0 при , т.е. существует , то прямая, проходящая через точку М0 и имеющая угловой коэффициент k0, называется касательной к графику функции f в точке М0(x0; f(x0)) .
Если существует , то существует , а это и означает, по определению, что существует касательная к графику функции f в точке М0 и ее угловой коэффициент .
Итак, геометрический смысл производной функции f в точке x0 заключается в том, что значение производной равно угловому коэффициенту касательной к графику функции f , проведенной в точке М0(x0; f(x0)) . Зная координаты точки М0 и угловой коэффициент, получаем уравнение этой касательной: .