Лекция 9 Тема 7. Приложения производной. Тема 8. Дифференциал функции

ПЛАН

1. Асимптоты графика функции.

2. Общая схема исследования функций и построения их графиков.

3. Дифференциал функции и его геометрический смысл.

1. Асимптоты графика функции

Определение 1. Асимптотой кривой, имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при движении точки вдоль ветви кривой к бесконечности.

Различают 3 вида асимптот:

— вертикальные;

— горизонтальные;

— наклонные.

Если кривая является графиком функции , то определения асимптот удобно дать следующим образом.

Определение 2. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции f, если выполняется хотя бы одно из условий:

, , , .

Определение 3. Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции f, если выполняется хотя бы одно из условий:

, .

Определение 4. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции f, если выполняется хотя бы одно из условий:

, .

Теорема 1. Прямая является наклонной асимптотой графика функции f при тогда и только тогда, когда и .

2. Общая схема исследования функций и построения их графиков

Для полного исследования функции и построения эскиза ее графика рекомендуется следующая схема:

1) найти область определения функции (при возможности и );

2) исследовать функцию на периодичность, четность и нечетность;

3) найти точки пересечения графика с осями координат и промежутки знакопостоянства функции;

4) найти точки разрыва функции и промежутки непрерывности функции;

5) исследовать поведение функции около точек разрыва и граничных точек области определения; найти вертикальные асимптоты графика функции;

6) исследовать поведение функции на бесконечности; найти горизонтальные и наклонные асимптоты графика функции;

7) вычислить , исследовать функцию на монотонность и экстремумы;

8) вычислить значения функции в характерных точках (если их мало, то и в дополнительных опорных точках графика);

9) используя полученную информацию, построить эскиз графика функции.

Замечание 1. Для четных и нечетных функций достаточно исследовать свойства функции при .

Замечание 2. Для периодических функций с периодом Т достаточно исследовать свойства функции на промежутке длиной Т.

Замечание 3. Некоторые пункты схемы можно пропускать при исследовании конкретных функций. Например, график непрерывной функции не может иметь вертикальной асимптоты, а график периодической функции (отличной от постоянной) не может иметь горизонтальной или наклонной асимптоты.

3. Дифференциал функции и его геометрический смысл

Определение 1. Пусть функция дифференцируема в точке x₀, т.е. приращение функции f в точке x₀ может быть представлено в виде , где . Дифференциалом функции f в точке x₀ называется главная линейная часть приращения функции f в точке x₀ и обозначается или .

Обратим внимание на то, что в фиксированной точке x₀ линейно зависит от приращения аргумента и при условии действительно вносит главный вклад в приращение функции f , ибо

.

Заметим также, что дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Действительно, рассмотрим функцию . Имеем , следовательно, , то есть .

Итак, если функция f дифференцируема в точке x, то в этой точке существует дифференциал функции f, который может быть вычислен по формуле

,

т.е. дифференциал функции f равен произведению производной функции f на дифференциал аргумента.

Выясним геометрический смысл дифференциала функции f в точке x₀ . Пусть функция f дифференцируема в точке x₀ ,следовательно, существует касательная к графику функции f в точке М₀(x₀; f(x₀)) . Зафиксируем приращение аргумента x в точке x₀. Рассмотрим треугольник M₀SN, где MN - касательная к графику f, а M₀S и MS - прямые, параллельные осям координат. Ясно, что M₀S=x , MS=y , NS=M₀Stg= .

Итак, дифференциал функции равен приращению ординаты касательной, вызванному приращением абсциссы .

Теорема 1. Если функции u, v дифференцируемы в точке x₀ , то:

1)  (дифференциал суммы равен сумме дифференциалов);

2)  ;

3) если , то .

Напомним, что дифференциал функции , где x - независимая переменная, вычисляется по формуле . Оказывается, что эта формула верна и в том случае, если переменная x сама является дифференцируемой функцией вида .

Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , то дифференциал композиции этих функций

.

Это свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала функции.