В
ряде случаев для решения задачи
требуется
найти не точное значение
F(x),
проходящей через
узлы интерполяции,
а некоторую функцию,
проходящую
достаточно близко к заданным точкам,
т.е.
аппрксимирующую заданную таблицу с
заданной
точностью.
Наиболее
простои вид аппроксимации —
аппроксимация
одной прямой. Рассмотрим пример
аппроксимации на основе
аппроксимации
вебер-амперной
характеристики магнитного материала:
Нелинейную
магнитную характеристику можно
представить на рабочем участке
прямой,
характеризующей величину
индуктивности:
Рис.
2.2
участках
вычисляется в соответствии с выражениями:
F
(x)
_ y
0 + y V(x
x°
) + 0h
(' x0
) (x
x
i )
Подставляя
значения аргументов и функции, получим:
=
5 + (x + i) + Л
- (x +i)-x = 5 + x +1 - 2 x2
+ 2 x = 2 x2
+ 3 x + 6
Окончательное
значение коэффициентов полинома:
F
(x)
=
2x2
+
3x
+
6
B
Рис.
2.1
B2
B1
K
=
B
H
,
B
= K • H
H
H
Метод
аппроксимации ломаной линией состоит
в замене нелинейной характеристики
ломаной линией со сшивкой решений в
точках излома. При этом, например,
магнитная характеристика характеризуется
двумя значениями индуктивности, а
индукция на двух
0
< H < H
B
=
H
= K, • H
к
i
H
i
=
B
H
i
H
< H < да
B
= B + B2
л
(h
- Hi) = Bi + K2 (H - Hi)
K
2
=
Следует
отметить, что для практического
использования аппроксимации при расчете
электронных схем ее следует представлять
в виде зависимости y(i).
Формулы пересчета известны из
теории магнитных элементов: y=BSW,
i
= (H-lcp)/W.
Как
сказано выше, задачей аппроксимации
является нахождение такой функции,
которая бы с заданной точностью
приближалась бы к определенной табличной
совокупности точек. Рассмотрим методы
аналитической аппроксимации функций.
Пусть
имеется некоторая функция f(x),
определенная на множестве n
точек. Необходимо посторить функцию
F(x)
в виде полинома степени m
таким образом, чтобы минимизировать
среднеквадратичное отклонение ее от
заданной таблицы значений:
31
B
B
н
н
н
н
2
2
Z
Р0Ф0 (xi)
• 9m
(xi)
+ ai9i
(xi
)
-9m (xi
)
• + " • +
=
Z
jt
If
(
) - F
()]
2
i=1 -
f ( ) = yr
Здесь
ji — некоторые
весовые коэффициенты. Заведомо
предположим, что весовые коэффициенты
равны 1.
Аппроксимирующую
функцию будем представлять в виде
полинома:
F
(x
>
=
а
с Ф с
( x
>
+
a
i 9 i
(x
>
+
• • •
+
am
Фт
( x
>
.
Вообще
говоря, функция F(x)
может иметь вид, отличный от
приведенного выше, однако при этом
нахождение коэффициентов аппроксимации
ao,
aj,
... am
оказывается гораздо более сложным.
С
целью минимизации отклонения
аппроксимирующей функции от заданной
таблицы продифференцируем разность
по искомым коэффициентам ao,
aj, ...
am,
считая их
d
a
i
независимыми
переменными, т.е. —L
= 0. При этом имеем систему (m
+ !)' уравнения вида:
d
aj
Z"i
~ a
o V
o(xi)-si9i(xi)
i=1
n
Z
л
~ a
0 A
0
( x
i
)
- ai9i(xi)
i=1
a
m Л m ( x i )] •
Фо ( x i )
л
m ( x i >
] " ф
1 (xi
)
Z
[y i ~
л0
(
x
i
)
-
a
i 9 i
(x
i
>
-
i
= 1
a
m W
m
(x
i
>]
-
9m
(x
i
)
=
Преобразуем
полученную систему, перенеся первое
слагаемое в правую часть:
Z
М2
(xi
> +
aiVi
(xi
)
•
Ф0
(xi
)
+ " • +
a
m
W
m (xi
)
•
Ф0
(xi
>
J = Z
y i
' ло
(xi
)
i
= 1
i
= 1
n n
Z
Р0Ф0
(xi
)
•
Ф1
(xi
)
+
a
i 9 l
2
(xi
)
• + • • • +
a
m V m
(xi
)
•
Ф1
(xi
)J
= Z
У '
Ф
1 (
x
i
)
a
m 4 > l
(xi
>
J = Z
^ '
ФГТ1
(xi
>
Полученная
система
(m+j)
уравнения с
(m+j)
неизвестным может быть решена любым
способом относительно коэффициентов
ao,
aj,
... am,
а, таким образом, найден и искомый
полином F(x).
Рассмотрим
способ аппроксимации полиномом F(x)
вида:
F
(x) = ao
+ ai
x + a2
x2
+... + amxm
Здесь
функции <$i(x)
при x имеют
следующие значения:
Ф0(
х) =1.
9i(
х)
= х. 9m
(х)
= xm
У у
... .
Перепишем
последнюю систему уравнений с учетом
сказанного:
32
n
2.2.2 Аппроксимация функций
n
" 0 +" i
£ +
"2
£
x f +
... +
am
X
xm=Xyi
"0
X x +
"
i
X x
f
+
"2
X
x
i
+ + am
x x m +
1
=
X x y i
a
xm + ai X xm+1
+ a2 S xm+2
+... +
an
x
x/~
=
s
xny
Выражения
для вычисления коэффициентов существенно
упростились, однако для вычисления
коэффициентов необходимо использовать
операции обращения матриц. Можно
воспользоваться еще более простыми
выражениями для ряда частных случаев.
Предположим, что координатная сетка
задана с некоторым постоянным шагом,
что наиболее часто встречается на
практике.
Пусть
функция задана на нечетном количестве
точек, равном: n
= 2k + l.
Причем
Xi+i-xi
=
A для
всех 1<i
<2k.
Введем
новую переменную
X
Xk+1
u
=
h
Тогда
при изменении x
в интервале xi,
X2,...,
Xn
(т.е. x=1...n)
новая переменная u
изменяется в интервале:
-
k;
-
k
+1,...-1,0,1, ...k-1,
k
При
этом многочлен F(u)
имеет вид:
F
(u) = ao
+ aiu
+ a2u2
+ ...amum
а
переход новой переменной u
к переменной x
осуществляется по формуле:
x
— xk+i
Л u
* h
Если
число измерений четное, т.е. n
= 2k,
тогда новая переменная u
вводится в соответствии с соотношением:
2
/х . , u
_i—^
_i
h
а
переход к переменной x
осуществляется в соответствии с
формулой:
(u
+ i)-h
х
rv +
x.
2
Тогда
при изменении i
винтервале 1...n
=
2k
переменная u
принимает значения: -
2k
+
1; - 2k
+
3,... - 3,-1,1,3, „.2k
-
3,2k-1
а
вид многочлена F(u)
остается прежним:
F
(u) = ao
+ aiu
+ a2u2
+ ...amum
Т.к.
в обоих случаях переменная u
изменяется симметрично относительно
o, то в
суммах, определенных последними
соотношениями для определения
коэффициентов ao,
ai,
... am
все
33
f
n
Z
u
4
1
Z u
слагаемые
с нечетными степенями дают нули, поэтому
они могут не учитываться. Это существенно
упрощает процесс нахождения коэффициентов.
После
того, как полином F(u)
построен, можно перейти к старой
переменной F(x)
по
соотношениям,
приведенным выше.
Рассмотрим
конкретные соотношения для определения
коэффициентов аппроксимирующей функции
для случаев, когда она имеет вид полинома
первой и второй степени.
Пусть
F(u)
имеет вид:
F(u)
=
ao
+
aiu
Тогда
система уравнений имеет вид:
nao
+ ai
z ui
= Z y-
i
= 1 n
a
i
Z
"
= Z
u i
y i
Отсюда
коэффициенты ao
и ai
определяются в виде:
Z
я .
a„
Z
"
У Z
"
Для
аппроксимирующего многочлена второй
степени:
F
(u)
=
ao
+
aiu
+
a2u2
Система
уравнений определяется в виде:
nao
+ ai
Z
u
i
=
Z
у-
ai
Z
"i
= Z
"Уг
ao
Z
u
i
+a
i Z
u
i = Z "
yi
Выразим из последнего
уравнения ao:
i=1,
,n
i
= 1,...,n
Z
ui2yi — ai Z ui
a
o =
I
u.
и
подставим выражение в первое уравнение:
Z"i2у-
Z
" 2
-
E n
=
S
n
Z"i2
Уг
-
Z У
Z
"2 nZ"
i2Уг
-Z"i2
Z Уг
П
Ж
_ y n
£u2
Л
'
n
Z
"4
-(Z n
f
Г
A
n
У
2
a
a
2
34