и c ( r } > -^Re⁶e-e)

В соответствии с примером к теореме 6, имеем оригинал указанного изображения в виде:

1 - e

Рис. 4.75. Зависимость напряже- _Uc [_n] = r

ние 1 - e

, n < t < n + y

Для нахождения значения напряжений в промежуточные между моментами коммутации значения времени, имеем:

, -Р Э n

u. И, =E +R - E ^,-^{Р У -}р"^(|-В-у)

, n + у < t < n + 1

Положим u_c[0]=0 и обозначим:

D

W ИЬ uc (q) .

На основании теоремы сдвига:

D{uc [n +1]} = e^q (uc (q )- Uc [0])= e^quc (q)

Изображение D(R) имеет вид:

^D W^R)

eq -1

Таким образом, уравнение относительно решетчатых функций в изображениях записыва- ется в виде:

eqUc (q) - e э Uc (q)= л

eq -1

Отсюда:

Подставим значение Uc[n] во временные зависимости:

Uc {t ) = E + (uc [n]- E )• e ^-p'^(t" ^{- n )} Uc (t)= E + (uc [n]-E)-e

P '(t n-y)

n < t < n + y n + y < t < n + 1

Получим:

u.

_{1 e}-p3П

(t) = ^E + R 1, ^e_e-R3" ^E ,-^P'⁽'""^{n )}

-: (0

1 - e-

t = n +

u_c (n + e) = E + R

E e "^{p 8} 0 < 8 < 7

1 - e

Таким образом, полученные выражения позволяют построить временные зависимости напряжения на емкости в любой момент времени без решения рекуррентных уравнений. В ча-

1

s

Р э

216

1 - e"^Pan

1 - &

стности, установившиеся значения напряжения на емкости можно определить путем подста­новки в выражение:

u, E + R ₇ _ E

"Pi

- P ' ' ( E - Y )

n = 0,1,2,....

л

4.7 Параметрические цепи

4.7.1 Понятие о параметрических цепях

Параметрическими элементами называются элементы, параметры которых являются функциями внешнего управляющего воздействия. Эта зависимость выражается как функция времени. В отличие от нелинейных цепей, у которых параметры зависят от электрического ре­жима (токов или напряжений), в параметрических цепях управление осуществляется некоторой функцией, которая не зависит от режима этого элемента.

Как известно, линейные цепи описываются в дина­мическом режиме дифференциальными уравнениями или системами дифференциальных уравнений с посто­янными коэффициентами. Нелинейные цепи описывают- V ся дифференциальными уравнениями с коэффициента­ми, зависящими от тока или напряжения (нелинейными ^Рис- ⁴⁷⁶ дифференциальными уравнениями), параметрические цепи описываются дифференциальны­ми уравнениями с переменными, зависящими от времени коэффициентами.

Рассмотрим некоторый обобщенный электрический элемент цепи (рис. 4.76). Здесь X— входное воздействие, Y — реакция элемента. В общем виде реакция записывается в форме соотношения:

У ( ) = ^f ), ^а1, ^а 2, .] .

Для линейных цепей справедливы принципы суперпозиции:

^f ( + *2 )= ^f ( ) + ^f (^Х2 ) f

т.е. реакция цепи на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое из них, а также свойство однородности:

f (a • x )= a • f (x) ^Л

т.е. изменение масштаба аргумента в a раз свидетельствует об изменении масштаба функции в такое же количество раз.

Принципу суперпозиции удовлетворяют системы, у которых параметры a15a2,... не за­висят от реакции цепи, т.е. они либо постоянны, либо изменяются во времени (параметриче­ские цепи).

Свойству однородности удовлетворяют линейные цепи и некоторые классы нелинейных цепей.

Проведем сравнение нелинейных и параметрических цепей в смысле связей основных параметров базовых элементов моделей.

4.7.2 Резистивный элемент

Нелинейный резистивный элемент характеризуется динамическим сопротивлением:

217

du

R = — di.

Если сопротивление зависит от напряжения R(u), то ток вычисляется по формуле:

_{i f} du

R(u)

Если сопротивление определяется током, то напряжение определяется по формуле:

u = | R(i )di

Необходимо отметить, что дифференциальное сопротивление, характеризующее нели­нейный резистор при некотором режиме работы, определяется (измеряется) путем задания рабочей точки источником постоянного напряжения и подачей небольшого переменного напря­жения в качестве эталонного.

Параметрический резистивный элемент характеризуется зависимостью: i = ^; u = R(t). i.

Последние соотношения показывают, что форма тока и напряжения на параметрическом резисторе не повторяют друг друга, однако принцип суперпозиции для параметрического рези­стора выполняется.

4.7.3 Индуктивный элемент

Нелинейный индуктивный элемент характеризуется соотношением:

u = = —[L{iV i\ = LT[^/I}. —ⁱ + i ^dL(i) - dt dt dt di dt .

Как видно из приведенных соотношений, принцип суперпозиции к указанной цепи непри­меним.

Параметрический индуктивный элемент описывается уравнением:

u = ™ = ^d [L(t). ,] = L(t)• ^di + i. Л dt dt dt di .

Как видно из приведенного выражения, неизбежна деформация кривой тока относительно кривой напряжения и возможность применения принципа суперпозиции.

4.7.4 Емкостной элемент

Нелинейный емкостной элемент описывается уравнением:

i = ^dQ = ^d [c(u). u] = c(u)• ^dU + u. ^{d c} u l • dt dt dt du dt

Из него следует невозможность применения принципа суперпозиции и искажение кривой напряжения относительно кривой протекающего через емкость тока. Параметрический емкостной элемент описывается уравнением:

218

Как видно из них, принцип суперпозиции при наличии в цепи параметричекой емкости применим, но форма напряжения отличается от формы входного воздействия.

Рассмотрим примеры параметрических цепей:

1. Ключ с периодической коммутацией, подклю-

2. чающий источник сигнала к некоторой нагрузке (рис. 4.77).

3. Каскад на полевом транзисторе (рис. 4.78).

Эквивалентная схема каскада изображена на том же рисунке. При этом предполагается, что полевой

транзистор моделируется сопротивлением, величина которого изменяется в зависимости от приложенного сигнала.

i = ^{d Q} = ^d [C (t). u}= C (t )• ^л + dt dt dt di

E

Ri

Рис. 4.77

R2

Рис. 4.78

Рассмотрим примеры параметрических цепей нулевого порядка и методы их расчета. Параметрические цепи нулевого порядка не содержат реактивных элементов, т.е. представля­ют собой параметрические резисторы. При этом реакция цепи Y(t) определяется в виде (рис. 4.76):

y{t ) = z (p(t ))• x{t )= z{t )• x{t) ,

где z(t) — параметр, характеризующий элемент. Т.к. величина z(t) не постоянна, то в принципе, цепь представляет собой нелинейную структуру, т.е. форма сигнала (реакции) на выходе не совпадает с формой входного сигнала. Величиной cp(t) можно управлять не только от внешнего источника, но и от входной цепи x(t).

Любую параметрическую цепь нулевого порядка можно привести к виду (рис. 4.79, 4.80). Здесь известны законы изменения e(t), j(t), а также закон R(t). Если входные воздействия не­периодические, то чаще всего требуется найти величины u(t) и i(t), если воздействия — гар­монические, то требуется определить спектральный состав полученного выходного сигнала.

R

e(t)

Ш		R	/
		/

R(t)

u

Рис. 4.79 Рис. 4.80

Наиболее простой задачей при расчете параметрических цепей является задача анализа.

219

^г2П,^п

v T

Будем предполагать, что изменения сопротивления в цепи невелики, тогда напряжение на параметрическом элементе определяется соотношением:

^r2nt^A

⁰ 1 + sn

R '2 v T

Рассмотрим схему рис. 4.81. Здесь R(t) — параметрический элемент, сопротивление ко- торого имеет следующий вид (рис. 4.82).

R

Rt)

e(t)

R(t)

R,

t

Рис. 4.81 Рис. 4.82

Разлагая прямоугольник в тригонометрический ряд Фурье, получим зависимость R(t) в

виде:

R{t ) -

_— 1 + sn

2

v T

sn

1 2nt

sin (2n -1) -\2n -1 V T у

U' sin

u(t)-К, R t )- 4 Ш -

T J

yy

Найдем величину постоянной составляющей напряжения u(t). Первое слагаемое посто­янной составляющей не содержит. Если разложить в ряд Фурье второе слагаемое, то получим зависимость:

. ^г2Пр	Ro	Um • ^Ro s| n	f 2nt Л		f 2nt ^л
e • sin				• sn
v T	R	2R	I T j		I T j

Uo

UmRo

nR

t

Рис. 4.83

4

n

е

t

220