Целью расчета является получение Ku(a>) и ф(щВ области высоких частот возможно получение труднообъяснимых результатов (с практической точки зрения), а именно в области ВЧ Кц>/, в то время как коэффициент передачи схемы с общим стоком меньше 1.

3.4 Метод обобщенных ветвей

Рассмотренные выше методы узловых потенциалов и контурных токов в ряде случаев при расчете электронных схем оказываются неудобными вследствие того, что ветви реальной схемы зачастую трудно представить в виде, удобном для реализации методов. Так, при ис- пользовании метода узловых потенциалов все ветви должны быть представлены в виде источ- ников тока с включенными параллельно проводимостями, в методе контурных токов все ветви представляются источниками ЭДС с включенными последовательно резисторами. Разумеется, указанная трудность принципиального значения не имеет, так как эквивалентными преобразо- ваниями одну из форм представления можно всегда свести к другой, однако, это представляет определенные неудобства.

Рассмотрим метод, позволяющий описывать схемы с более гибкой структурой ветвей, ко- гда каждая ветвь представляется источниками тока (зависимым и независимым), а также ис- точником ЭДС.

Для рассмотрения метода введем понятие структурной матрицы схемы или матрицы ин- циденций (соединений) схемы Л?: для схемы с n узлами и l ветвями. Матрицей инциденций

называется прямоугольная матрица размера [n,l], где каждой ветви отводится столбец, а каж- дому узлу — строка. Элемент матрицы a,y=1, если j-ая ветвь принадлежит i-ому узлу и стрелка на- правлена от узла, элемент a/j=- 1, если j-ая ветвь принадлежит /-ому узлу и стрелка направлена к узлу, наконец, элемент a/j=0, если ветвь j не при- надлежит узлу /.

Рассмотрим пример для ранее приведенной структурной схемы некоторой цепи (рис. 3.18).

Матрица инциденций имеет вид:

У 22 У23

У 4 1 У 4 2 У 4 3

А

aa,bb

У22 У23

Ум Уп

Рис. 3.18

Л = a

I	11	III	IV	V	VI	VII	VIII
+1	0	0	+1	+1	0	0	0	1
-1	-1	0	0	0	-1	0	0	2
0	+1	+1	0	0	0	+1	0	3
0	0	-1	-1	0	0	0	-1	4
0	0	0	0	-1	+1	-1	+1	5

У

У

У

2 1

2 2

2 3

У 2 1

4

У

У

У

3 1

3 2

3 3

У 3 1

У 3 2

У 3 3

У

У

У

4 1

4 2

4 3

95

Очевидно, можно отметить одно важное свойство, матрицы Aa:

Т.к. каждая ветвь соединяет два узла схемы, а по отношению к ним направления ветвей противоположны, то каждый столбец матрицы Aa имеет два ненулевых элемента: +1 и -1, т.е. сумма элементов матрицы в столбце равна 0. Поэтому можно исключить любую строку матри­цы без потери информации о схеме, т.к. исключенная строка может быть всегда восстановле­на. Матрица, полученная из матрицы Aa путем исключения одной из строк называется редуци­рованной матрицей инциденций A. Она имеет размер [n-1,l].

Рассмотрим вектор-столбец токов ветвей Ie:

I =

в

Очевидно, по первому закону Кирхгофа , сумма токов ветвей в узле равна 0, тогда

A • I = 0

a в

Набор уравнений, воспроизводимый последним матричным уравнением, не является ли­нейно независимым, т.к. одно из уравнений всегда содержится во всех предыдущих. Исключив одну строку из матрицы Aa, т.е. воспользовавшись редуцированной матрицей инциденций A, можно получить линейно независимую систему уравнений, отображающуюся матричным урав­нением:

A-1 = 0

в

Рассмотрим также еще одно важное свойство матрицы A.

Введем вектор столбец узловых потенциалов U, размерности [n-1,1], где потенциалы отсчитываются от базисного узла, соответствующего вычеркнутой строке в матрице инциден­ций Aa. Можно показать, что

U = A-U

в

Для доказательства этого положения рассмотрим k-тую ветвь схемы. Очевидно, к-ая ветвь схемы может быть расположена одним из следующих способов:

1. От узла i к базисному,

2. От базисного узла к узлу i.

3. От i-ro узла к7-тому узлу.

В первом случае в матрице А в столбце «к» имеется лишь один отличный от нуля эле­мент aik=1. Тогда скалярная запись приведенного выше матричного уравнения для напряжения на к-ой ветви имеет вид:

^ивк = u

Во втором случае меняется лишь знак элемента aik=-1 при этом:

^uek =~^ui

h 2

96

В третьем случае в k-том столбце матрицы А имеется 2 ненулевых элемента аи=1 и ajk=-1, тогда напряжение на k-ой ветви выражается в виде:

и,, = и, •и.

что вполне совпадает с физическим смыслом.

Рассмотрим теперь некоторую произвольную ветвь схемы в

обобщенном виде (рис. 3.19).

Здесь jek — независимый источник тока k-той ветви, eek — независимый источник ЭДС ветви, Bk — двухполюсник, который представляет собой либо линейное сопротивление, либо управ- ляемый напряжением на элементе Bj другой ветви источник тока.

Рассмотрим электрическую схему, состоящую из n + 1 узла и l ветвей. Выберем произвольно некоторый базисный узел и ис-

ключим его из рассмотрения. Для указанной схемы составим редуцированную матрицу инци- денций A[n,l].

По аналогии с предыдущим определим следующие вектора:

Рис. 3.19

U =

- век.-столб. напряжений на ветвях. V = ² - век.-столб. напр. на

элементах B ветвей

Jel

j = Л

- век.-столб. задающих токов ветвей. Ев = ² - век.-столб. задающих ЭДС

ветвей.

L = ² - вектор-столбец токов ветвей

- век.-столб. токов элементов

L

ветвей

Для схемы с выбранными положительными направлениями токов и напряжений справед- ливы соотношения:

U = Vg -Ee; I = II - J e

Дополнив их соотношением для второго закона Кирхгофа, получим:

A • Ie = 0; A .(l* - Je )= 0

Элемент Bk может характеризоваться следующими соотношениями: Если этот элемент — линейный резистор Rk, то для него справедливо:

и

V

и

2

V

e

e

J

e

2

*

97

и в целом, по-прежнему iek ■ gj • Уч , где gki ■ ^Pkj

^kj R,

Таким образом, в целом, токи элементов Bk ветвей схемы связаны с напряжениями на элементах ветвей соотношениями:

У11 У12 ••• У11 v

*2 У 21 У 22 ••• У 21 "е 2

h, У11 Уг 2 ••• Уи

На основании сказанного можно заключить, что

U =

Rk

Если он — управляемый напряжением на элементе Bj ветви j источник тока, то можно за- писать:

*

¹вк ■ ⁹ k j ' ^V e j

где g kj — коэффициент связи (передаточная проводимость) с размерностью А/В. Если элемент Вк — управляемый током ветви j источник тока, то для него справедливо:

iek ■ Р kj ' iej

Здесь pkj — коэффициент передачи, безразмерная величина. Если теперь в ветви j эле- мент Bj — линейный резистор, то напряжение и ток в нем связаны соотношением:

R,

Таким образом:

Pkj

R,

gkj'^v

Уkk ■

R

Уka ■

0 k

если элемент Bk — линейный резистор, то

Р

У^ ■ gkj а ■ ^j

gkj ■ R j ; Уka ■

^j

если Bk — управляемый напряжением или током ветви j источник тока. Таким образом, последнее уравнение можно записать в виде:

':■ w

где Ye — матрица проводимости ветвей.

98

0

Однако на практике формализованный способ составле- ния матриц применять более просто. Разница в виде матриц Y для методов узловых потенциалов и обобщенных ветвей состо- ит в необходимости учета взаимных проводимостей ветвей, обусловленных наличием зависимых источников тока. При со- ставлении вектора задающих токов схемы J необходимо, ко всему прочему, учитывать, что в вектор входят произведения,

которые учитывают влияние собственных источников ЭДС ветвей, а также наличие управляе-

99

Таким образом, подставляя последнее уравнение в соотношение

Л^(1* - Je)= 0

получим:

Л^ I* = Л^ Je;

Л-Ye V = Л^ Je

Так как Ve = Ue + Ев, то справедливо:

Л • Y .(Ue + Ee ) = Л • Je ,

или, что то же самое,

Л^ Ye U = Л - (J e - Ye • Ee) С учетом выведенного выше соотношения

Ue = Л' •и

получим:

Л^ Yg • Л •U = Л-Je - Yg • Ee)

Обозначая

Л ¹ Y ¹ Л

' '^E«) = Y-U = J

окончательно получаем:

В последнем уравнении Y— матрица проводимости схемы, J — вектор задающих токов схемы.

Наконец, домножая обе части на матрицу Т¹ слева, получим:

U = Y-¹ • J

Таким образом, метод обобщенных ветвей позволяет сравнительно легко учитывать дос­таточно сложную структуру ветвей схемы. Как видно из предыдущего рассмотрения, свойства матрицы Л во многом сходны со свойствами матрицы П, если схема приведена к канониче­ском виду. Это сходство обусловлено выбором сечений схемы, охватывающих один узел схе­мы. Однако работа с матрицей А проще, т.к. не приходится выбирать сечения схемы и их на­правления, а работать лишь с выбранными направлениями токов ветвей.

Аналогия между матрицами А и П позволяет, очевидно, произвести аналогию в форма­лизации составления матриц Y и J с выведенными ранее правилами формирования аналогич­ных матриц в методе узловых потенциалов. В принципе, конечно, матрицы Y и J могут форми­роваться в соответствии с точными соотношениями вида:

Y = Л • Ye • Л

J = Л J - Yg • Ee).

tek

tek

^Jek

Bk vek

Y

Л

J

J

мых источников тока, ток которых, в свою очередь, зависит от ЭДС ветвей, определяемых за- коном управления.

Рассмотрим ПРИМЕР: Схема содержит 4 узла, включая базисный.

2 Гн

ю = 1

2

2 +10 + — 2 j	-10 + 8	- i - - 8 2 i
-10	10 + 5 + 3 j - 8	- 3j + 8
1 " 2j	- 3j + 4	3 j + - - 4 2 j

®

Рис. 3.20 2

Y

12 - 0,5 j	- 2 - 8 + 0,5j
-10	7 + 3j \ 8 - 3j
0,5 j	4 - 3j \ 2,5j - 4

1 2 3

	2 + j -10 + 48		40	+ j
J=	7 - 48 +18j	=	- 41	+ 18 j
	-1 - j + 24 -i8j		23	-19 j

1 2 3