Введем
безразмерное время t =
t
Обозначим параметры:
• T
Р
= —
R1c
и
подставим их в исходные уравнения:
• T
Р
= — R2c
1
dUc л
1 dUc
c
+ Uc
= E c +
Uc
= 0
p
dt
c
p dt
Решение
первого уравнения запишем в виде:
Uc{t)=
E
+
B
•
e
*
-
n
\ n
<f
<„
+
y
-it~nT
)
Uc(t)
=
E
+
B1
•
e
Rl<c л
R1c
В
моменты коммутации, при:
t
=
n
+
y, U
c
(t)=
U
c
(
n
+
Y)
t
=
n,
Uc
(t") = Uc(n)
Uc
(n )
= E
+
B1
•
e
"p'0
л
B1
=
Uc
(n)-
E
Таким
образом, при n
-t -
n
+
Y
Uc
(t) =
E
+
[Uc
(n) -
E
]
• e
"p'(f
"n
при
t-
= n +
Y uc
(t)= E +
[uc
(n)-E]-e-P'Y
Решение
второго уравнения имеет вид:
uc(t)=
В
2
• e
,
n
+
t-лп
+
1
При
f
= n +
Y
uc
{t)= uc
(n +
y)=
E +
[uc
(
n)
- E]•
e-p
7
Т.к.
это значение соответствует значению
2-го уравнения при t = n
+ у, то
E
+
[uc(n)-E]^
e"P
у=
B2
• e"p''0
B
2
= E
+
[uc
(n)- E ]•
e
"py
Uc
(t" )=
E
+
[Uc
(n)-
E
]•
e
"py
Таким
образом, при
n
+
y<
t
<
n
+1
t = n +1
и рассматривая
uc
(n)
-p"-(f-n-y)
206
B
e
UC
(n
+1)
=
[E
-
[uc
(n)
- E ]•
e
]
•
e
"
p
"
л
= E
• (1 - e~p'r
)• e " л + UC
[n] • e л ' M
Полученное
таким образом разностное уравнение
позволяет путем последовательной
подстановки n от 0 до
любого произвольного значения вычислить
значения U(n)
в любой момент времени,
соответствующий коммутации. Однако
процедура расчета при этом является
итеративной и занимает много времени.
Существенно
упрощает решение задачи применение
дискретного преобразования Лапласа
к расчету схем с периодической коммутацией
параметров.
Дискретное
преобразование Лапласа, или
D-преобразование, является
функциональным преобразованием
решетчатых функций f[n]
и определяется соотношением:
F(q)
= Z{e~qn •
f
[n]}= Df [n]}
n=0
Для
смещенных решетчатых функций:
F(q,s)
= ]T{e~qn
•
f[n,s]}=
Df [n,s]}
n=0
В
последних соотношениях
q
= a +
j®
— некоторое комплексное число,
называемое
параметром
преобразования. s —
вещественный параметр, определяющий
смещение функции.
Вспомним
обычное преобразование Лапласа:
ои
F
(p )
= L{f
(t
)}=J
e"
ptf
(t
)dt
0
Таким
образом интегралу с бесконечным пределом
соответствует бесконечная сумма, т.е.
некоторый ряд, а непрерывной переменной
t — дискретная переменная
n,
произвольной непрерывной функции
f(t)
—
решетчатая функция f[n],
или смещенная решетчатая функция
f
[ n
,s
]
.
По
аналогии с обычным преобразованием
Лапласа f[n,s]
называется оригиналом, F(q,s)
—
изображением. Соответствие между ними
записывается в виде:
F
(q )=
D
{f
[n]}+ f [n] F(q, e) =
D
f[n, s]}+ f[n, 8]
Указанное
выше преобразование называют прямым
дискретным преобразованием Лапласа.
Для
того, чтобы изображение решетчатой
функции f[n]
существовало, необходимо, чтобы
ряд под знаком суммы был сходящимся.
Покажем, что если ряд сходится при Req
=
a0,
то
он
абсолютно и равномерно сходится и при
любом
q,
удовлетворяющем условию Req
>
a0.
(Ряд
называется абсолютно сходящимся, если
сходится соответствующий ряд,
составленный из абсолютных величин
членов ряда). (Ряд называется равномерно
сходящимся, если для любого s
существует такое N[s],
что для любого n>N(s)
выполняется неравенство If
(n)- f (N
j<6.
2074.6.3 Дискретное преобразование Лапласа и его основные свойства
Таким
образом, ряд
ж
i — \ F(qe~°°n[e~n
•
f
[n\j
сходитсяпоусловию.
n
= 0
Т.е.
его общий член стремится к 0 при nA-oo
и ограничен при любом n>0,
т.е. e"}"n
•
f[n]\<
f[n].
Рассмотрим
общий член ряда:
то
то
X
| e
-}
• f
[n]<Xe"°01
f[n]|e-
(CT-00
)n
n=0 n=0
Из
условия сходимости исходного ряда
следует, что ряд:
то
Ё
e
"°01f
[n]|
n=0 сходится,
a e a°n\f
[n| <
M
Тогда
новый ряд можно представить в виде
общего члена ряда л e
)n
, умноженно-
n
= 0
го
на
Mnpn
любом n>0.
Т.е. члены нового ряда меньше членов
сходящейся геометрической прогрессии,
поэтому и новый ряд сходится абсолютно.
Для
каждого сходящегося ряда можно определить
значение ос,
для которого при Req
>ac
новый ряд будет сходиться. Поэтому
величину <jc
называют абсциссой сходимости
ряда, т.е. наибольшей нижней границей
значений о, при которых ряд сходится.
Если
для функции f[n]
абсцисса сходимости меньше
бесконечности, то функция называется
преобразуемой. Всякой преобразуемой
функции соответствует изображение
F[q].
Если f[n] же
для функции f[n]
абсцисса сходимости то ряд
f[n]
расходится при любом n и
изображение не существует.
Рассмотрим
ПРИМЕР 1:
n f
[n]
=1[n],
прилюбом
n.
Рис
472 Изображениедля
Re
q >
0:
e
q
F(q)
= ±e-q"
1[n] = 1 + 1 л-4
+ ... =
1
n=0 e0
eq
e2q
1
-
e"q
eq-1
F (q ) = D{1[n]} =
eq
-1
Таким
образом, изображение функции 1
[n]
есть:
F
(q )=
D
{1
[n]}
=
?q
- 1
f
[n,
8]
= ea<n+£».
f
[n] =
ea'".
f
q y
eq
- ec
Рассмотрим
ПРИМЕР 2: Изображение
определится по формуле:
208
Очевидно,
если e
= 0, то
изображение имеет вид:
F
(q ) = D л n }
=
eq
- e a
Несложно
убедиться в том, что суммирование
воз- | у n
можно
при Req
>a,
т.е.
абсцисса сходимости ряда <jc
0
равна
а.
Примеры показывают, что изображения
функций Рис'
4
73
f
[
n
]
являются функциями
eq.
Функция
eq
является
периодической функцией вдоль мнимой
оси
j
ю,
т.е.
F
(
q
)
= F
(
q
+
2nkj).
При
этом изображения решетчатых функций
полностью определены при
Req
>
a0 в любой полосе шириной
2щ параллельной действительной оси.
Целесообразно
выбирать полосу симметричной относительно
действительной оси, т.е.
определить
функцию
F(q)
при
-ж < I
m q <л.
Как
и в случае обычного преобразования
Лапласа вводится понятие обратного
дискрет-
ного преобразования, которое
позволяет определить оригинал (функцию
f(n))
по
известному
изображению
F
(q)
i-
, \
'
-q-n
a-n a-s as \ '
-(q-a)n
F
( q , e q •
e • e = e
e
e
1
- e"
(q"a
>
e
aEeq
eq
-
ea
JJn]
f
[n] =
D
"1
{F
(q )}
>
f
[n, 8]
= D
"1{F
(q,
e)}.
Обратное
дискретное преобразование
дается
соотношениями:
1
c
+
jn
f
[n] =
— J
F(q)eqndq
=
D
"1
{ F(q)}
J
cc-- jjn
j®
+Ж
(c,+jn)
j®
= Im q
OC
-
n
у/Пу.ъ
= Re
qL
(c,+jn)
Рис.
4.74
f
[n, 8]
= 2"T
JF(q,
s)eqndq
=
D-1
{F(q, s)}
J
c—j jn
Как
видно из приведенных соотношений,
обратное дискретное преобразование
Лапласа аналогично обычному обратному
преобразованию. Интегрирование
изображения
F(q)
осуществляется
по любой кривой от - л-до
+ж,
проходящей через точки с абсциссой с.
Покажем справедливость формулы обратного
преобразования Лапласа. Для этого
проинтегрируем формулу для изображения
F(q)
в
виде:
F
(
q)
= I
f И-e"
qn
n=0
В
соответствии с формулой обратного
преобразования. Получим:
c+jn
JF(q)e^mdq
c--
j"ft
c+jn c+jn
J e~q"f
[n]\eqmdq
=
£
f
[n]-
Je"q(n"m)dq
c-
jn
I
n=0 J n=0 cc~\jn
Если
n#m,
то
209
m
= 0
n
= 0
0
c+jn
c
+
j
n -q{n — m)c
+ J —c
(n — m)
„Jn
/n m\ ~ ^ jn m
j
<£вдп~т
]
cfq
=
- .
(eJn(n~m)
-
e
~Mn~m
0
---jn
Если
n = m, то
n
- m n - m
--j
N c
-
j
n
j
dq = c + jn - c
+ jn + 2 nj
c
-
j
n
c+jn
JF(q)eqmdq
=
f
[m]-
2kj
,
заменяя переменную m
на
n:
c
-
j
n
1
c+jn
f
[n] =
— JF(q)eqndq
j
e--i
n
Для
практической работы с дискретным
преобразованием Лапласа рассмотрим
основные теоремы и правила определения
изображений решетчатых функций.
1.
Теорема линейности оригиналов и
изображений
Изображение
линейной комбинации решетчатых функций
есть линейная комбинация их изображений.
л k
ZavFA(q avfvin]
V—1 V—1
2.
Теорема перестановки
Пусть
f[n]
—
комплекснозначная решетчатая функция:
f
[n] = R e f
[n]}+
I m f [n]}_
Тогда
Re
D f [n]}= D{Re f [n]}, Im D f [n]}= D{lm
f [n]}.
Т.е.
действительная (мнимая) часть изображения
комплекснозначной функции есть
изображение действительной (мнимой)
части ее.
3.
Теорема сдвига
Пусть
имеется решетчатая функция f[n]
и ее изображение D{f[n]}
= F(q).
Рассмотрим изображение сдвинутой
на k решетчатой функции
f[n+k],
где k — целое
положительное.
c+jn
D
f [n + k ]} = Х
e
~qnf
[n + k ]
n=0
Произведем
подстановку:
r
= n + k.
a> fx k
-1 1 f k
-1
Df
[n+k ]}
= £ e-*r~k
\ f
[r ]=
eq
JA
л
•f
[r]"E
e"q"
•f [r]f =
eqk\F
(,)-£
e"q"
•f [r]j
r
= k I r = 0 r = 0 J L r = 0
При
этом, еслиП0]
= ф]
= ... =
ПЫ] = 0, то D
{f [n +
k]}=
eqkF(q).
210
Аналогично,
для f[n
+ k],
имеем если f[0]
= f[-1] = ... = f[-k] = 0, то
D
f [n -
k
]}=
e
"
qkF(q
).
Смещение
независимой переменной на k
при выполнении условий равенства
0 соответствующих значений функции
f[n]
соответствует умножению изображения
на e±qk.
Сдвиг
независимой переменной на величину
0<е<1
приводит к смещению решетчатой функции.
При этом параметр s следует
рассматривать как независимый от n.
Применим
теорему сдвига для определения
изображения решетчатой функции
(периодической):
f
[n] = f [n + kM],
где M — период — число
дискретных отсчетов.
Пус^=1,
тогда
р(я)
=
Dfn
+ M]}.
По
теореме сдвига:
m
-1
F(g)
=
egMi
F (
g
)
- £ e
"
f
[r]!
r
= 0
Или,
что то же самое:
eqM
Mz1
Ffa)=
-£
r-.
-
S
Л
e
gr
•
f
[r]}
e 1
r = 0
Сумма
представляет собой изображение
решетчатой функции, совпадающей с
исходной в одном периоде (0, M)
и равной 0 вне этого периода.
4.
Теорема смещения
Смещение
независимой переменной в области
изображений определяется следующим
выражением:
F(я
±Х) = X e
л
V [«]= S {
e
л
f
[n]}
n=0 n=0 .
Таким
образом,
F
(g e~(y±Xn
£ [n]
Смещению
независимой переменной в области
изображений соответствует умножение
оригинала на e±Xn.
5.
Теорема об изображении разности.
Рассмотрим
первую разность решетчатой функции:
Af
[n]= f [n +1]-
f
[n] На
основании теоремы линейности и сдвига
имеем:
D{Af
[n]}= Df
[n +1
]} -
D
f [n]} В
окончательном выражении:
D{Af[n]}
= (eq
-
1 )F(g)-eqf[0].
Вторая
разность решетчатой функции:
211
q
а
Заметим,
что e ~
e
Тогда,
в соответствии с теоремой 6
A2f
[n
]
= Af
[n
+1
] - A
f
[n ]
D{Af[n
+1]}
= eq
[D{Af[n]}- Af (0
)] =
eq
[(eq"1
- 1)F
(q )
- eqf
[0]]-
eq
Af (0
)
Таким
образом:
D{A2f
[n +1]}=
eq
(eq-1
-
1)F
(q )-e 2A.f
[0]-(eq"1
-
1)F
(q )+
eqf
(0)-eq
Af (0)
=
=
(eq"1
-1)2F(q)-eq(eq
-
1f
[0]-eqAf
(0)
Для
k-ой разности в общем
виде:
D
Л
k
f[n+1]}= e -
1 )kF(q>-
g{eq
-1)Г-ду[0]
r
= 0
6.
Теорема об изображении суммы.
Сумма n членов решетчатой
функции определяет-
ся в виде:
Ё
f
М
= f
[0]+f М
+ . . +f
[n + 1]
m=0
Рассмотрим
первую разность суммы:
A
!
f
[m ]
= £ f
[
m
]
-
X f [m] =
f
[n]
m=0 m=0 m=0
Dj
an£—1
f[m] [
= D
f [n]} = '(eqs
-
1
1)dj
П—1
£ f[m]
[
- eq
£
f
[m]
m=0
j L
m = 0
j m = 0
F
(q)
D
Ш f Mb e, _ 1
Таким
образом: u=° j
Так
как значение суммы при
m
=
0
равно 0, то имеем:
D
{f
[n]}= F(q)
= {eq
-
1 ) D
f [m]\
Lm=
D
L Z
f w } = й
Лm
= 0
Таким
образом суммированию в области оригиналов
соответствует деление на (eq-1)
в
области изображений.
Рассмотрим
ПРИМЕР.
Найти
оригинал, соответствующий изображению:
F (^)
=
л—
eq
л
■
fi
(q У / " .л
в "
212
F
(Я
)=
_ F
1
л X e»m
У
e
~
1
m=0
У
1
+ e
a
+
e
2а
+
... +
e(n"1)o
Сумма
последнего ряда есть:
1 ean
_ 1 - ean
-
ea
+
1 " (- ea
+1)"
1 - e
a
Таким
образом, решетчатая функция, соответствующая
изображению имеет вид:
w 1
_ e^'
F(Я)
=
(eq
-
1 V -e»)*
W
7.
Теорема дифференцирования по q
Рассмотрим
формулу перехода от оригинала к
изображению в соответствии с дискрет-
ным
преобразованием Лапласа:
ои
F
(g )
= Х e
~qnf
[n]
n=0
Продифференцируем
это соотношение по
g
k
раз:
d
Ч n=0 .
Отсюда
следует, что:
D\nk
f [n]} = (-
1Гл
Таким
образом k-кратному
дифференцированию изображения по
(-q)
соответствует
ум-
ножение оригинала на
nk.
8.
Теорема об интегрировании по q
Пусть
решетчатая функция
f
[
n
]
удовлетворяет условиям:
г
f Л+1
л
fl°]>°;
limf т
п
n
у
Запишем
формулу для дискретного прямого
преобразования Лапласа в виде:
ои
F
( q ) = I e"qn
• f[n]
n=0
Проинтегрируем
левую и правую части по g:
J
F(q
)dq =
]Г
e
л
•л
n
q n=1
Повторив
интегрирование kpa3,
получим:
213