Рис. 4.63. Структурная схема импульсного стабилизатора напряжения Для анализа устойчивости замкнутой системы стабилизации методами линейной теории автоматического регулирования необходимо линеаризовать нелинейную непререрывную мо­дель регулятора (рис. 4.61, система 4.20) в окрестности рабочей точки (номинального режима). Это может быть выполнено автоматически при малосигнальном частотном анализе с помощью программ схемотехнического анализа ORCAD, MICRO-CAP. Таким образом, с помощью ли­неаризованной малосигнальной модели (рис. 4.64) могут быть получены логарифмические АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы, а по ним — произведен синтез корректирующих цепей для обес­печения устойчивости и необходимых динамических показателей стабилизатора.

Рис 4.64. Линеаризованная непрерывная модель импульсного стабилизатора для малых возмущений

4.6 Анализ переходных процессов в цепях с периодической

коммутацией параметров

4.6.1 Решетчатые функции и разностиыеуравнения

Решетчатой называют функцию, которая определена только при дискретных равноот- стоящих друг от друга значениях независимой переменной (как правило, времени). Между ука- занными значениями решетчатая функция равна 0 (рис. 4.65).

f[nT]

T>0,

целое

f(T)

f(2T)

f(0)

f(3T)

f(3T)

Рис. 4.65

n

t

1

0

202

С изменением At изменяется не только смещение решетчатой функции, но и, разумеется, сами дискреты.

Одной и той же решетчатой функции могут соответст- вовать различные непрерывные функции^), основным условием является равенство их ор- динат в дискретные моменты времени t=nT. Например, на рис. 4.68 изображены три функции fTi(t), fT2(t), fT3(t), которые можно назвать огибающими решетчатой функции fnt].

Таким образом, решетчатая функция f[nt] не может полностью отобразить свойства непрерывной функции fT(t). Аналогично можно отметить, что сме- щенная решетчатая функция f(nt,At) при фиксиро- ванном At не может полностью отобразить непре- рывную функцию. Однако, если параметр At изме- нять плавно от 0 до T, то функция f(nt,At) становит- ся тождественной fT(t). Другими словами, смещен-

ную решетчатую функцию с непрерывно изменяющимся параметром At можно трактовать как иную форму представления записи непрерывной функции.

Для удобства рассмотрения используют относительное время t, т.е. относительные еди- ницы представления независимой переменной:

t

^{t = —}_T

^T тогда f[nT] = f[n]

В этом случае расстояние между дискретами равно I, а решетчатая функция может быть записана в виде f[n]. Этой функции соответствует непрерывная f(T • t), или просто f(t). Тогда f[n] совпадает с f_T(t) при t = n.

Смещенная решетчатая функция также может быть записана в относительных единицах,

Пусть дана некоторая непрерывная функция fт(t) (рис. 4.66) . Ей соответствует решетчатая функция f(nT), которая представляет собой ординаты непрерывной функ- ции fT(t) в дискретные моменты времени nT. Эти ординаты называют дискретами.

Для того, чтобы получить решетчатую функцию из за- данной непрерывной f(t), необходимо в последней заме- нить t на nT . Если в непрерывной функции заменить t на nT+At , где At фиксированная величина, лежащая в ин- тервале -T<At<+T, то fT(nT+At) будет соответство- вать решетчатой функции, которую обозначим f(nt,At). At можно рассматривать как параметр. При At> 0 аргументы решетчатой функции смещены вправо, при At< 0 — влево относительно исходной решетчатой функции при At= 0 (рис. 4.67).

/, 1 2T 3T 4!

^At > ⁰ f[nT,At]

2T 3T 4T

At > 0 f[nT,At]

3T 4T

Рис. 4.67

тогда смещение е перепишется в виде

в = ^Л

и функция будет иметь запись f [n,e]. Сме­

щение s изменяется в диапазоне 0<е<1 . Если требуется рассмотреть отрицательное смеще-

203

ние решетчатой функции, то записывают ее в виде f [n -1,s], чтобы аргументы были поло- жительными.

Периодические решетчатые функции

Для периодических решетчатых функций можно записать

f [n + kM ] = f [n] , где kv\ M — це- лые числа, M — период повторения. Можно ввести понятие относительной частоты периодической функции

Рис. 4.69

Можно показать, что периодиче- скую решетчатую функцию можно представить в виде тригонометрического многочлена, т.е. в виде конечной суммы гармонических решетчатых функций частот, кратных ю:

f[n] = у +

N

^f И = + Z (c

k= 1

5T 6T 7T 8T

Ю =

2п

M

cos(k®n)+bk sin(k®n))

При этом число коэффициентов ак в разложении равно 2N + 1, а число гармоник N = JV ¹— целое число, содержащееся в M/2.

Можно представить решетчатую функцию в комплексном виде, учитывая преобразова-

ния:

cos(k ю n ) = -—J ^kran ₊ e — ^{jk ra} 2

sin(k®n) =¹ (e^jk(an - e~i^kan)

N

к=1

f [n] = 2 £ {cke^jk-«ⁿ)

k = - N

Тогда ck имеет вид:

■k - ibk, ^k > ⁰

'^<pk _a k = 0 ck = c k e ад l\ U

+ A . ^k < ⁰

где коэффициенты ck — комплексные амплитуды гармоник. В вещественной форме записи:

и = + z (^ck ^cos(^k® ⁿ + фk;;

Периодическая решетчатая функция, таким образом, имеет конечное значение гармоник. Значения коэффициентов ck, щ или ak, bk можно определить поMдискретам функции f[n].

k

204

4.6.2 Разности решетчатых функций и разностныеуравнения

Скорость изменения решетчатой функции характеризуется ее первой разностью: анало- гом производной непрерывной функции 1-го порядка. Разность первого порядка или первая разность определяется в виде:

Af [n]= f [n +1]- f [n]

Геометрическая интерпретация имеет вид рис. 4.70.

Разность второго порядка или вторая разность:

A²f [n] = Af [n + 1 ]-Af [n]

После подстановки: A²f [n]= f [n +1 ] - 2 f [n +1]+ f [n]

Ключ S периодически переключается из положе- ния 1 в положение 2, причем в течение времени nT < t < (n+y)T ключ находится в положении 1 и кон-

денсатор C заряжается, а в течение времени (n+y)T < t < (n + 1)T ключ находится в положе- нии 2 и конденсатор разряжается через резистор R2 (0 < у< 1).

Запишем дифференциальные уравнения, характеризующие процессы для обоих интер- валов. Для первого интервала:

dUy dt

Для второго интервала:

0

ЗТ 4T

Рис. 4.70

5T 6T

В общем случае разность &-ого порядка имеет вид:

A^kf [n] = A^k ~¹f [n + 1 ]-A^k ~¹f [n]

и выражается через разности более низких порядков через формулу биномиальных ко- эффициентов Ньютона:

f W = t (-

fr

/ [n+^k-V]

Так, если решетчатая функция f[n] равна a n, то:

Af [n ] = a (n +1)- a • n = a

Af² [n]= a (n + 2)-2a -{n +1)+ a • n = 0

Ri

E

R2

C

Разностные уравнения описывают процессы в цепи при периодической коммутации параметров схе­мы. Рассмотрим пример составления разностных урав­нений для простейшей схемы, изображенной на рисун­ке 4.71.

Рис. 4.71

R1C <

+ uc = E

R2C • + uc = 0 ² dt ^C

*

2

205