Рис. 4.40

4.5 Анализ переходных процессов в нелинейных схемах и численные методы интегрирования нелинейных ду

Нелинейная схема содержит хотя бы один нелинейный элемент. При анализе переход- ных процессов в нелинейных схемах нельзя использовать принцип наложения, который пре- доставляет возможность рассчитывать процессы в виде суперпозиции сигналов от разных ис- точников. Таким образом, становится невозможным рассчитывать переходные процессы с по- мощью интегралов Дюамеля, наложения, классическим и операторным методом анализа пере- ходных процессов.

При расчете переходных процессов удается воспользоваться лишь законами Кирхгофа, при этом вольтамперные характеристики нелинейных элементов могут быть заданы либо в графической, либо в табличной форме, или описаны аналитическим выражением. При этом предполагается, что нелинейный элемент является безынерционным, или его можно предста- вить безинерционным нелинейным звеном совместно с инерционной линейной частью.

Методы анализа переходных процессов в нелинейных схемах классифицируются:

• по способу решения нелинейных дифференциальных уравнений: на графоаналитические и численные;

• по характеру величины, для которой производится расчет: на методы для мгновенных значений, методы для огибающих первых гармоник, методы для медленно меняющихся амплитуд.

Нас будут интересовать методы, позволяющие проводить анализ мгновенных значений, будут рассмотрены графо-аналитические и численные методы расчета.

Дифференциальные уравнения для нелинейных схем составляются по законам Кирхго- фа. Представляется удобным составлять дифференциальные уравнения для каждого реактив- ного элемента — индуктивности или емкости в следующем виде:

due dir

C U I = L

^e dt ^L dt

если они линеины, и в виде:

dQ dt

^U L

dt

если последние нелинейны.

При этом система дифференциальных уравнений для схемы и-ого порядка преобразует- ся к виду:

¹ с

176

d ^л

, , ' П 1 ⁽ У 1 , У 2 5 Уп ⁵ "

dt

где в левой части вынесены производные функций, а в правой — выражения для функ- ций через параметры схемы, частично нелинейные, и сами функции, т.е. токи и напряжения.

Нахождение переходного процесса есть решение задачи Коши, которая формулируется следующим образом: требуется найти решение системы п дифференциальных уравнений пер- вого порядка на заданном интервале времени (to...tk), если известны значения всех перемен- ных в одной точке, как правило это точка — начало интервала интегрирования. Значения функций в начале интервала определяются, как несложно догадаться, из независимых началь- ных условий.

Рассмотрим основные виды нелинейностей, характерных для электронной техники. Для графоаналитических методов, как правило, графическое изображение нелинейности дает исчерпывающую информацию для расчета. Для численных методов требуется обычно с той или иной степенью точности провести аппроксимацию нелинейности функции с тем, чтобы использовать полученное выражение для расчета или ввести его в ЭВМ. Наибольшее рас- пространение при аппроксимации получили методы аппроксимации ортогональными много- членами, например метод наименьших квадратов, однако он оказывается достаточно сложным сам по себе, а для решения задачи расчета переходных процессов имеет чисто прикладное значение. В электронике, где виды функций весьма ограничены, зачастую можно воспользо- ваться хорошо разработанными готовыми аппроксимирующими функциями и для каждой кон- кретной нелинейности лишь подобрать коэффициенты аппроксимаций, получив при этом

весьма удовлетворительный по точности результат. Рассмот- рим некоторые типовые из них: • ВАХ полупроводникового диода;

dt

= /l( Ух, У2>- УП5¹)

i = L

-1

0

Рис. 4.41

С = Сп

п = 3 - плавный переход; п = 2 - резкий переход. Параметр Ащ магнитные характеристики;

В = а • й(р#) или

Параметры а, Д b. термистор;

Параметры аппроксимации Io, m. обратные емкости переходов;

Афо

А

Фо

Рис. 4.42

\Е

н = b . в

ч>т

и

u

0

Рис. 4.44