3.5 Статический анализ линейных и нелинейных схем

3.5.1 Статический анализ линейных схем. Алгоритм исключения Гаусса

При описании линейных электронных схем методом узловых потенциалов, контурных то­ков, обобщенных ветвей, получены матричные уравнения вида:

U = Y• J ;

I = Z-¹ • E

Для их решения требуется определить обратную матрицу и затем произвести ее умноже­ние на вектор соответствующей размерности. Принципиальных трудностей эта задача не вы­зывает, однако техническая ее реализация требует значительных затрат машинного времени.

Гораздо более просто решается задача непосредственного решения системы n алгеб­раических уравнений вида:

ОпХ1 + Gu ^x2 + ... + ^ain^Xn = Ш ^a21^X1 ^Л a22^X2 ^{л л} a2n^Xn ~ M2

1

3

1

3

^an i ^x i + ^an 2 ^x2 + - + ^a n n ^x n n

что эквивалентно матричному равенству:

100

₀ (²) ₀ (²) U 32 U 42

0 (²⁾

0 (²⁾

A • X = \i

Использование правила Крамера для решения такой системы уравнений приводит к не­обходимости проведения 2(п+1)! операций умножения. Более распространен метод решения, называемый алгоритмом исключения Гаусса.

Алгоритм основан на идее исключения переменных по одной до тех пор, пока в левой части не останется одна переменная. Затем, по найденному значению этой переменной проис­ходит определение всех остальных неизвестных системы уравнений. Таким образом, алгоритм исключения гаусса состоит из двух шагов: шага исключения и шага подстановки.

Рассмотрим работу алгоритма для системы из 4-х уравнений вида:

ВД I 012 I 013 X ^Л 0^Л14 Х4 ^—

I л 2 2 Л 2 I О23Х3 I Л24« Л4 _{Л 2}

Л31Х1 I 032 ЛХ 2 I 033 ХХ3 I 034 ХХ 4 JX 3

Л41ХЛ1

^л 4 2Х2 I 0 4 3Х3 I 04 4Х4 л 4

Умножим первре уравнение на — и сложим со вторым, включив результат в систему

ап

вместо 2-го уравнения. Очевидно, при этом величина коэффициента при ч1 во втором уравнении станет равной 0. Затем первое уравнение умножается на коэффициент — и

складывается с третьим, и наконец, умножается на коэффициент

0

0

и складывается с

четвертым. Преобразованная таким образом система уравнений имеет вид:

0 ц Х1 I 0Л12 Х2 I 0Л13 Х3 I 0Ц Х4

022' Х 2 +02 3' Х3+024» Х4 = Л2²> Х2 + < Х3 + < Х4 = л ² >

⁰ 4 2 ^Х2 л'43 ^Х3 л'44 ^Х4 Мч

С точки зрения матричных представлений, указанные операции означают умножение ис­ходной матрицы A на матрицы S1, S2, S3 вида:

в, =

1

0

0

0

1

0

3 0

0

Проведем дальнейшие преобразования, исключив из третьего и 4-го уравнений коэффи­циент при переменной Х2. Для этого второе уравнение умножим последовательно на коэффи-

циенты

и сложим, соответственно, с третьим и четвертым уравнением:

22

22

11

1

0

0

1

101

Исключим переменную Хз из четвертого уравнения, умножив третье на коэффициент

43 и сложив с четвертым. Получим систему:

a ⁽³⁾

a ⁽³⁾

Х^Л I ^А 2 I ^А 2 I a^A4 X 4

22 Л 23 I 024 X4

a*-³ x + a лз) x

33 3 34 4

■43 ¹ 3 а ■ 4 4 ¹ 4

И 1

Последнее преобразование можно с точки зрения матричного подхода представить пе­ремножением матрицы S1S2S3 A на матрицы е4 и S5 вида:

2)

- n 2

M 4

• 4 =

^S5 =

42»

33

ад 1 0А12 Х2 1 013 Х2 1 014 X4 |АА

a ⁽²⁾ Х + a² Х + a ⁽²⁾ Х

* 2 ²)

22 2 23 3 24 4

ГЛ³ Х + a ⁽³⁾ Х

33 3 34 4

(4) ц 4⁴⁾

a 44' Х ₄

Последняя операция эквивалентна матричному умножению на матрицу:

10 0 0 0 10 0

" ¹⁽3

■f

Таким образом после проведения указанных преобразований, уравнение приведено к ви- ду, когда можно легко найти значение переменной Х4. Таким образои, матрица A исходного уравнения трансформировалась в верхнюю треугольную матрицу. Первый шаг алгоритма Га- усса — шаг исключения — окончен.

Найти значение Х4 можно, умножив уравнение 4 на коэффициент —. При этом:

^a 44 ⁾

^{Х4 —} _a (4)

^a 44

Указанная операция эквивалентна умножению уравнения на матрицу вида:

0

102

0 0

- a

S1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0

0

0 1

>(⁴)

Если обозначить S6-S5-S4-S3-S2-Si A = U, то имеем:

SUUx

a ii	^a 12	^a 13	a	x
0	a (2) ^a 22	a (2) ^a 23	a	x	A 2^2)	A 2^2)
0	0	a (3) ^a 33	a	x	^A 3 ^3^)	A 3 ^3^)
					A 4^4)
0	0	0		x

Последнее матричное уравнение умножим на матрицы е7-и s2:

в7 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

( 3) 34

1 0 0

0

0 1

0

0

0 1

" 3 3 0

0 0

0

1

После первой операции умножения обратится в 0 коэффициент a3(4⁾, т.к. он сложится со взаимно противоположным. После второго умножения коэффициент ae(3⁾ станет равным 0 Указанные операции приведут к результату:

S 2^Л7 S1UX -

Умножим последнее уравнение на две матрицы типа s: sg-и S9 и на матрицу S3

					X1		Ц 1
" 1 1	■ 1 2	■ 1 3	■ 1 4
0	.(2)	■ (2)	■ (2)
	22	23	24		^x 2
0	0	1	0		^x 3
0	0	0	1		^x 4

K9 =

a2²⁾

0. о

S з =

1(2" 22 о

Получим:

a

0

1

о

0

103

1 1	of 12	^a 13	" 1 4
0	1	0	0
0	0	1	0
0	0	0	1

	X1		M1
	^x 2		м2^7)
	^X 3		m3^6)
	^X 4		m 4^5)

Наконец, умножим последнее уравнение на матрицы ею, 8ц, si₂, S4, получим:

= 10

0 0 1 0 0 1 0 0

- ^аь

0 0 1

Л n —

-a i 2 1 0 0 1 0 0

— 0 0 0

a

S 4 :

1

0

0 0

1	0	0	0		X1		8 Ml
0	1	0	0		^X 2		М2^7)
0	0	1	0		^X 3		M3^6)
0	0	0	1		^X 4		m4^5)

S 4Л12Л11Л10 S 3S9S8 S 2Л7 S1UX

Таким образом, вектор искомых переменных будет равен столбцу коэффициентов. Реше­ние уравнений, таким образом, проведено, причем, как показывает анализ, оно требует прове-

n3 „

дения — операции перемножения.

Необходимо учесть, что все указанные рассуждения справедливы в случае, когда эле­менты матрицы, на которые производится деление отличны от 0. В противном случае для про­ведения решения осуществляется перестановка строк матрицы.

3.5.2 Статический анализ нелинейных схем. Методы решения

нелинейных уравнений

Метод деления отрезка пополам

Предположим нам задано нелинейное уравнение вида Р(х) = 0 и некоторый отрезок [хь Х2], Причем на краях интервала значения функции принимают противоположные знаки, т.е. f(x1 )-f(x2)<0. Таким образом, на отрезке [хь Х2] функция f(x) имеетхотя бы один корень. Будем искать этот корень следующим способом. Проанализируем значение функции f(x) в точ­ке хл = ^X1 л ^X2 — середина интервала [Х1, Х2]. Выберем теперь для анализа один из интер- 2

валов [хь хз] или [хз, Х2], а именно тот на котором f(x1 )-f(x3)<0 или f(x3)fx2)<0. Полу­ченный отрезок вновь делится пополам и т.д. до тех пор, пока искомый корень не будет найден с заданной точностью, т.е. пока интервал [Х1, Х2] не сократится до заданной изначально вели­чины s. Указанный метод дихотомии (деления отрезка пополам) имеет ряд преимуществ:

• Он всегда сходится, т.е. корень всегда можно отыскать за определенное количество при­ближений;

a

104

• Для его реализации не требуется вычисление производной функции, что значительно уп- рощает реализацию метода.

Однако метод деления отрезка пополам имеет и значительные недостатки:

• Медленную сходимость, т.к. на каждом шаге приближения отрезок неопределенности оты- скания корня сужается всего в 2 раза. Поэтому для получения 3-х значащих цифр корня требуется 10 итераций.

• Не распространяется на системы нелинейных уравнений.

Для начала работы метода требуется знать начальный участок приближения, на котором находится предполагаемое значение корня. Однако для электронных схем указанная трудность в значительной степени устраняется тем, что диапазон напряжений в схеме заключен между значениями напряжений источников питания схемы. Поэтому интервал [xi, x2], если перемен- ной x является напряжение, всегда известен.

Метод простых итераций

Запишем нелинейное уравнение F(x) = 0 в несколько ином виде cp(x)=x. Ука- занное преобразование можно произвести, приняв, например, cp(x)=F(x)+x. Будем ис- кать корень x* путем последовательных при- ближений xn+i =ф(хп). Геометрическая ин- терпретация метода достаточно прозрачна рис. 3.21.

Рассмотрим

вопрос об устойчивости метода. Например, в случае нелинейной за- висимости ф(х) вида рис. 3.22. метод, очевидно, расходится. Пока- жем условия, которые определяют область сходимости метода.

Таким образом, если ф (1 )| > 1 во всем интервале вблизи кор- ня, где выбрано начальное приближение, то каждая следующая точ-

ка будет все больше удаляться от предыдущей. Если ф (1 )| < 1, то отрезки x_n+1 увеличения числа n будут уменьшаться, т.е. метод будет сходиться.

Метод хорд и секущих

Рассмотрим функцию f(x) и выберем 2 приближения xo и x^A. Будем искать следую- щее приближение из значений функции на предыдущих двух по формуле:

Геометрическая интерпретация метода достаточна ясна (рис. 3.23).

Достоинством метода является то, что для его реализации не требуется знать или вычислять производную функции, однако недостат- ком является необходимость определения двух начальных приближений для реализации ме-

Ри° 321

^xn + 1

ф( Хп)-Ф(х*} = (xn - x* )-ф'(£) Xn

по мере

^xn+1

^{f (x} n ^} (^x n - ^x n - 1 ) ^f ( x n } - ^f (xn - 1 ^}

Рис. 3.23

x

n

105

тода. К недостаткам можно отнести также и то, что формула для вычисления последующего приближения в некоторой степени напоминает формулу численного дифференцирования, по­этому при приближении к корню, когда f (Xn)- f (x n_i) мало, возможно возникновение оши­бок округления, в результате чего метод может выдавать ошибки расчета типа деления на нуль, что приводит к останову программы. Для устранения этого недостатка оценивают полу­чаемую погрешность и останавливают расчет, если она становится соизмеримой с точностью представления чисел в ЭВМ.

Метод Ньютона-Рафсона

Рассмотрим уравнение f (X) = 0. Предположим, что функция бесконечно дифференци-

*

руема вблизи корня X . Предположим далее, что имеем некоторое приближение X n на n-ом ша­ге расчета, причем xn — не корень уравнения, т.е. f (xn) ф 0. Функцию f(x) можно разложить в ряд Тейлора вблизи точки xt в виде:

d f (x) id ² f(x)

^f (Xn+j) = ^f (x„> 4 . (X_{n + 1} X_n) _A * (^x - x_n )2 +

x=x „

1 d ²f (Х)

2! dx'

Последнеее соотношение определяет итерационную формулу Ньютона-Рафсона для одного нелинейного урав- нения. Геометрическая интерпретация метода достаточно проста (рис. 3.24).

Рис. ³²⁴ Метод обеспечивает сходимость в случае, если на-

чальное приближение выбрано достаточно близко к корню. Однако, если начальное приближе- ние выбрано неудачно, то метод может расходиться или циклиться (рис. 3.25). При выборе на- чального приближения в точке хо¹ метод сходится к корню xi , при начальном приближении хо⁴ — расходится, при начальном приближении хо², хо³ — зацикливается.

f (x) = f (Xn) 4

dx

(^Х - xn )•

2! dx²

^x - xn )2 +

Предположим, что следующий шаг решения xn+i. Тогда, если разность (xn+i-xn) невели­ка, можно записать:

d f (Х)

dx

Если пренебречь степенями (xn+i-xn) выше первой, то последнее выражение преобразу­ется к виду:

^f ( X n + j ) « ^f (Xn) 4

d f ( x )

dx

(^Xn + i ^X n )

Т.к. следующее приближение выбирается таким образом, чтобы обеспечить равенство: f (xn+i) = 0, с учетом последнего приближенного равенства получим:

		' d f (x)	л
^X n + 1	_ ^X n	V ^dx	*= J

-i

f ( Xn )

⁽

х = х

Х = Х

и

п

106

ox dx" _X __Xn

x=xn X _Xn

Рис. 3.25

Очевидно, может быть написана программа, автоматически определяющая признаки рас­ходимости метода, что позволяет корректировать процессы выбора начального приближения до тех пор, пока метод не начнет сходиться.

Скорость сходимости метода Ньютона-Рафсона оценивается величиной £n = x* - xn на j-ой итерации. Можно показать, что для метода справедливо: £j+i < ^sj. Если Ъ,п << 1, то ме- тод сходится очень быстро. Для сравнения скажем, что в методе простых итераций £j+i < k£j,

т.е. он сходится намного медленней.

ПРИМЕР. о_

f и л E ¹

I = I e ^Фт -1 ^R

V У U = фг In L +

V ¹ 0

U = E - IR

_ E - U

I _

R

^{f E}"^IR \ E - U

I _ I e ^Фт - 1 ; U _ фт In f 1 — такая форма записи

Рис. 3.26

V

у

V Io R

нелинейного уравнения подходит для решения численным методом простых итерации.

Метод Ньютона-Рафсонадля системы уравнений

Метод Ньютона-Рафсона можно распространить на систему m нелинейных уравнений

вида:

f (x¹, x²,... x^m )_ 0

i = 1,2,...m

Предположим, имеется n-oe приближение xn _(x^A,x^j,...xm). Разложим функцию не­скольких переменных в ряд Тейлора в окрестности точки Xn _ ( x ¹ n , x m ) :

ft (x¹, x ²,...x^m )_ ft {xl, x2,...xm) +

f

(x¹ - XI ) +

i_1, 2, ...m _или: F(Xn +1) _ F{Xn)+ J{Xn X ^л - Xn)

x m ) + вторы£!степени

Далее следуют члены более высокого порядка малости, т.е. разности [x^k - x^kn) более высоких степеней, умноженные на частные производные более высоких порядков. Если при-

107

m

(^Xn + 1 _X11 ) ' . (Xn²+1 - Xn² ) +

⁴ ax²

X=Xn

j = 1, 2, ...m

Указанная система уравнений может быть записана иначе путем перенесения

i .

нять, что на (n+1) итерации значение аргумента Xn+i =(xn+i,xV..x"+i), а сама функция F(Xn+i) равна 0 (т.е. найден корень уравнения), то получим:

f, X , xi... xm) + f

dx"

fo - x") « 0

X=Xn

f^Y|^/ x¹n, Х n x n^m'в правую часть

J(Xn ) • (X n +1 - Xn ) = - F (Xn )

Здесь ^J (^X n) — матрица Якоби функции ^f (

f

dx¹

J fXn 1 =

f

dx¹

j f L

dx² f

dx

2

) ! в т о

df dx"

dx"

С

dx¹

С

_dx²

dx" X=X

А вектора Xn+i, Xn, F(Xn) имеют вид:

X

n+1

,,2

n+1

X = ^Х п

n

f1

X )

_F 1 ='

^}m ( n )

Последнее соотношение переписывается также в виде:

X n +

Xn -fJX„)YF(X„)

Что и дает итерационную формулу метода Ньютона-Рафсона для системы нелинейных уравнений. Метод Ньютона-Рафсона является наиболее общим методом решения систем не­линейных уравнений, одной из проблем реализации метода является необходимость вычисле­ния и оценки на каждом шаге частных производных функции многих переменных.

ПРИМЕР.

En

Ic = f {Ucu 'U3u).

^Еп -^uebvc~^Rf^U3H1 ^,UCH1)

^иси2 ^Uвых ~ ^изи2

П ^R1

• С И С И 2

V

• ^иЗИ1 = ^RVJ^U3H1"W1)

У

^изи2 = ^R 2^f (^иЗИ2' ^U СИ 2 )

■ U e

П ^RH

108

ч к е

n

x

m

x

x

cm

И С И 1

с

R 2

Рис. 3.27