х х ж _-f ™ 1

J ... J F (q W = E e ^л •

q q ⁿ=!

Таким образом,

k

n

D { _n# } = H P(q W

q q

lim ' ЛЛ]^Л =0

V _nk _у

при условии, что

K-кратное интегрирование изображения по q от q = 0 до q^a соответствует делению ори­гинала на n^k.

9. Теорема дифференцирования по параметру

Пусть оригинал и изображение содержит некоторый параметр Я, который не зависит ни от q ни от n.

Рассмотрим формулу преобразования Лапласа в виде:

^F (^{q f} In, л, F (q, X) = jr e ~qnf [n, X].

n=0

Дифференцируя обе части выражения по Я, имеем:

dF(q, X) л of [n, Х] дХ ' дХ

Таким образом, дифференцирование по параметру перестановочно с D-преобразованием. Теорема позволяет найти изображение смещенной решетчатой функции по известному изображению функции. Производная смещенной решетчатой функции соответ­ствует производной соответствующей непрерывной функции. Пусть, например, имеем смещен­ную решетчатую функцию f (t) = f (n + ф) = f (n,s). Производная этой функции по времени:

of (f) = of jn + e) = of jn + e) = df jn, e) dt d(n + s) дг дг

Если X=s, то

dF(q, в) . df (t)

д^{г dt} t = n + s

Производная изображения смещенной решетчатой функции F(q,s) по s является изо­бражением смещенной решетчатой функции, соответствующей производной f (t).

10. Теорема интегрирования по параметру

Проинтегрируем формулу дискретного прямого преобразования Лапласа:

то

F (q, Х ) = л e ~qnf [n, X]

n=0

по параметру X (при этом заменим порядок суммирования и интегрирования в правой части):

214

А.

j F (q, X)dX = ^л e' J f [n,

n = 0

Таким образом интегрирование по параметру перестановочное D-преобразованием

X X

J F (q, f (n, %)d%

л

11. Теорема об умножении изображений (теорема свертывания в вещественной области).

Пусть имеются две решетчатые функциMf[m] Mf2[m] и их изображения Fj(q) и F2(q).

то то

F (q )= X e [ m ] F2 (q)= £ e ~q^mf2 [m]

m=0 m=0

Рассмотрим произведение изображений:

то то

Fx (q )• F2 (q ) = Xe ~q^mf [m]-£ e И

m=0 n=0

Произведем перемножение рядов в правой части равенства при Req>oc, где ос — наи­большая из абсцисс сходимости обоих рядов:

то то то то

F(q)-F2(q) = Xe"" f M f 2 [ n - m ] = £ e " q n £ f (n-m)f2[m]

n=0 n=0 n=0 m=0

Последнее следует из того, что при n<m решетчатые функции равны 0. Теорема свер­тывания, таким образом, позволяет найти оригинал произведения изображений, если известны оригиналы сомножителей.

Так функции f[n] и f2[t] равноправны, то формулу свертки можно записать во втором

виде.

4.6.4 Решение линейных разностных уравнений

Идея решения разностных уравнений состоит в следующем. Применяя D-преобразование к разностному уравнению с постоянными коэффициентами, на основании теорем сдвига, ли­нейности или изображения разностей можно получать алгебраическое уравнение относительно изображения искомой решетчатой функции. Это уравнение решается относительно изображе­ния, а затем находится оригинал по полученному изображению. Таким образом, находится об­щая форма записи решетчатой функции.

Рассмотрим разностное уравнение, полученное в результате анализа цепи с периодиче­ской коммутацией емкости на два резистора и источник ЭДС (рис. 4.71). Уравнение емкости имеет вид:

uc [n +1] = E (l - e e -P"^A + uc [n ^-е'*¹*

Преобразуем его следующим образом:

uc [n +1]- uc [n]e-^P3 = R

Здесь Рэ =PY + P"(¹ "У), R = E (l - e-P^A)b ^-р"^(1-у)

215