2.4.7. Колебательное звено

Передаточная функция

, (2.85)

где ( ) – коэффициент демпфирования;

– коэффициент передачи и постоянная времени колебательного звена.

2.4.7.1. Реализация с применением пассивных элементов. В качестве примера можно привести делитель напряжения с последовательным соединением сопротивления, индуктивности и емкости (рис. 2.34).

Рисунок 2.34

Его передаточная функция

, (2.86)

или

. (2.87)

Сравнивая выражения (2.87) и (2.85), получим , , .

Отметим, что условие выполняется при соотношении величин элементов делителя .

2.4.7.2. Реализация с применением активных элементов. В качестве примера можно привести цепь, изображенную на рисунке 2.35.

Рисунок 2.35

Передаточная функция этого устройства

. (2.88)

Сравнивая выражения (2.88) и (2.85), получим , , .

2.4.7.3. Переходная характеристика. График переходной характеристики (рис. 2.36) определяется формулой

, (2.89)

где А – постоянная интегрирования;

, – действительная и мнимая части корней характеристического уравнения ;

– начальная фаза.

Рисунок 2.36

2.4.7.4. Частотные характеристики. Частотная передаточная функция колебательного звена получается путем замены в формуле (2.85):

. (2.90)

После проведения промежуточных преобразований представим формулу (2.90) в показательной и алгебраической формах записи:

; (2.91)

. (2.92)

Сравнивая формулы (2.91), (2.92) и (2.4), получим выражения для АЧХ и ФЧХ, а также действительной и мнимой частей АФЧХ:

; (2.93)

; (2.94)

; (2.95)

. (2.96)

Графики частотных характеристик приведены на рисунке 2.37.

Рисунок 2.37

2.4.7.5. Логарифмические частотные характеристики. На основании формул (2.6) и (2.93) выражение для ЛАХ колебательного звена имеет вид

. (2.97)

Построим асимптотическую ЛАХ. Сопрягающая частота

. (2.98)

В области малых частот выражение (2.97) принимает вид

. (2.99)

Формула (2.99) есть уравнение прямой, параллельной оси абсцисс (первая асимптота).

В области больших частот выражение (2.97) принимает вид

. (2.100)

Очевидно, что вторая асимптота (2.100) есть прямая с отрицательным наклоном, проходящая через точку с координатами .

Графики ЛАЧХ (истинной и асимптотической) и ЛФХ приведены на рисунке 2.38.

Рисунок 2.38

Определим «приращение» второй асимптоты ЛАХ на декаду:

,

или .

Истинная ЛАЧХ в области сопрягающей частоты близка к асимптотической при . Если величина коэффициента демпфирования , то фактическая ЛАЧХ существенно отличается от асимптотической. В этом случае следует пользоваться специальными таблицами поправок, которые приводятся в справочной литературе.