2.11.5. Определение передаточной функции корректирующего устройства

Формулы, приведенные в пп. 2.11.4, позволяют рассчитать параметры желаемой передаточной функции разомкнутой цепи САУ (в соответствии с выражением (2.257)). Структурная схема системы, отвечающей требованиям технического задания по быстродействию и качеству, приведена на рисунке 2.94.

Рисунок 2.94

Отметим, что данная система является всего лишь расчетной, своеобразным эталоном для реальной САУ, содержащей функционально необходимые элементы (без учета датчика выходной величины в цепи обратной связи) и корректирующее устройство (рис. 2.95).

Рисунок 2.95

Требование одинаковости поведения реальной (см. рис. 2.95) и расчетной (см. рис. 2.94) систем приводит к очевидному равенству

, (2.269)

где – искомая передаточная функция корректирующего устройства;

– передаточная функция функционально-необходимых элементов прямой цепи.

Отсюда

. (2.270)

2.11.6. Пример синтеза сау

Требования технического задания, предъявляемые к проектируемой системе:

а) вид задающего воздействия g(t) = vt, причем = 50 град/с;

б) максимальная величина ошибки = 0,05 град/с;

в) порядок астатизма = 1;

г) время регулирования 0,16 с;

д) перерегулирование 13%;

е) передаточная функция объекта управления (ФНЭ)

, (2.271)

где = 20; с.

Выбираем типовую ЛАХ вида 2/1 (S = 2, = 1), которой соответствует передаточная функция

(2.272)

прямой цепи системы управления (см. рис. 2.94).

Отметим, что результаты расчетов постоянных времени , , передаточной функции (2.272) по формулам из пп. 2.11.4 являются приближенными. Следовательно, эти величины по сути являются предварительными, требующими дальнейшего уточнения. Такое уточнение будем проводить путем моделирования системы управления на ЭВМ, например с помощью программы MatLab.

С учетом изложенного обозначим: , , – приближенные значения постоянных времени; , , – уточненные значения постоянных времени.

Рассмотрим порядок расчета параметров желаемой передаточной функции (2.272).

1. В соответствии с формулой (2.211), справедливой для случая g(t) = vt и = 1, величина установившейся ошибки относительно задающего воздействия

.

Отсюда определяется коэффициент передачи разомкнутой цепи проектируемой САУ

. (2.273)

2. Из формулы (2.264) находим приближенную величину запаса устойчивости по фазе

град. (2.274)

3. В соответствии с формулой (2.268) рассчитываем приближенное значение частоты среза

. (2.275)

4. Постоянная времени определяется из формул (2.262) и (2.260):

. (2.276)

5. Из выражения (2.258) находим постоянную времени :

с. (2.277)

6. Постоянная времени определяется из формулы (2.263):

с. (2.278)

После расчета величин всех приближенных параметров (2.273) – (2.278) желаемой передаточной функции (2.272) производится моделирование системы (см. рис. 2.94) на ЭВМ с целью определения фактических значений времени регулирования и перерегулирования . График полученной таким образом переходной характеристики h(t) системы (см. рис. 2.94) приведен на рисунке 2.96.

Рисунок 2.96

Численный анализ графика (см. рис. 2.96) дает следующие результаты:

а) время регулирования (по уровню 2,5%, см. п. 1.3) = 0,212 с;

б) перерегулирование = 17, 38 %.

Полученные величины превышают цифры технического задания –

= 0,212 с > ( 0,16 с); = 17, 38 % > 13 %. Дальнейшая коррекция (уточнение) параметров с целью обеспечения требований технического задания в проектируемой системе производится следующим образом.

I. Строится асимптотическая ЛАХ (пунктирная линия на рис. 2.97) , соответствующая передаточной функции

.

Рисунок 2.97

Сопрягающие частоты на рисунке 2.97:

; ; ; частота среза .

II. Для уменьшения времени регулирования (выполнения требования ) необходимо увеличить частоту среза ЛАХ. Это достигается увеличением сопрягающей частоты , в результате чего происходит подъем среднечастотной части ЛАХ (см. рис. 2.97). Практически увеличение осуществляется путем уменьшения постоянной времени . Одновременно с изменением производится моделирование системы (см. рис. 2.94) на ЭВМ с целью определения полученных значений времени регулирования и перерегулирования . Процесс уменьшения завершается после достижения требования .

Так, для рассматриваемого примера получена величина = 1,1 с ( ), которая в совокупности с остальными постоянными времени ; с обеспечивает величину времени регулирования = 0,156 с < 0,16 с и перерегулирование = 16, 1% > 13 %.

III. Для снижения перерегулирования (выполнения требования ) необходимо увеличить протяженность среднечастотной части ЛАХ путем уменьшения постоянной времени (с одновременным ростом сопрягающей частоты ) – см. рисунок 2.97. Одновременно с уменьшением производится моделирование системы (см. рис. 2.97) на ЭВМ с целью определения полученных значений времени регулирования и перерегулирования . Процесс уменьшения завершается после достижения требования .

Так, для рассматриваемого примера получена величина = 0,0048 с ( ), которая в совокупности с остальными постоянными времени = 1,1 с; обеспечивает величину времени регулирования = 0,158 с < 0,16 с и перерегулирование = 12,97 % < 13 %.

На этом расчет параметров желаемой передаточной функции

, (2.279)

обеспечивающей выполнение требований технического задания, завершается.

Асимптотическая ЛАХ , соответствующая формуле (2.279), приведена на рисунке 2.97 (сплошная линия), а ЛФХ – на рисунке 2.98.

Рисунок 2.98

Частота среза ЛАЧХ (см. рис. 2.97)

, (2.280)

а запас устойчивости по фазе синтезированной САУ (см. рис. 2.94)

. (2.281)

На основании формул (2.270), (2.271) и (2.279) передаточная функция искомого корректирующего устройства реальной системы управления (см. рис. 2.95)

, (2.282)

или

. (2.283)

На этом процедура синтеза реальной системы управления (см. рис. 2.95), состоящей из объекта управления (ФНЭ) и корректирующего устройства, завершается.