- •В. Л. Федоров, а. В. Бубнов теория автоматического управления
- •Введение
- •1. Основные понятия теории автоматического управления
- •1.1. Классификация объектов управления
- •1.2. Принципы автоматического управления
- •1.2.1. Разомкнутые сау (принцип разомкнутого управления)
- •1.2.2. Принцип компенсации (управление по возмущению)
- •1.2.3. Принцип обратной связи. Регулирование по отклонению
- •1.2.4. Комбинированное управление (сочетание принципов замкнутой и разомкнутой систем)
- •1.3. Понятие о качестве систем автоматического управления
- •1.4.5. Классификация по свойствам объекта управления и регулятора
- •1.4.6. Классификация по идеализации математического описания
- •1.4.7. Классификация по количеству регулируемых величин
- •1.4.8. Классификация по свойствам в установившемся режиме (величине ошибки регулирования)
- •1.5. Типовая функциональная схема сау
- •2. Линейные системы автоматического управления
- •2.1. Передаточные функции
- •2.2. Частотные характеристики
- •2.3. Логарифмические частотные характеристики
- •2.4. Типовые динамические звенья сау
- •2.4.1. Усилительное звено (идеальное усилительное, безынерционное, пропорциональное)
- •2.4.2. Апериодическое звено (инерционное, апериодическое первого порядка)
- •2.4.3. Интегрирующее звено
- •2.4.4. Дифференцирующее звено (идеальное дифференцирующее звено)
- •2.4.5. Форсирующее звено (форсирующее звено первого порядка)
- •2.4.6. Реальное дифференцирующее звено (не типовое звено)
- •2.4.7. Колебательное звено
- •2.4.8. Звено чистого запаздывания
- •2.5. Структурные схемы сау
- •2.5.1. Правила преобразования структурных схем
- •2.6. Передаточные функции замкнутой сау по задающему воздействию и возмущению
- •2.7. Построение логарифмических характеристик сау
- •2.8. Устойчивость линейных сау
- •2.8.1. Критерий устойчивости Гурвица
- •2.8.2. Критерий устойчивости Найквиста
- •2.8.3. Логарифмический критерий устойчивости
- •2.8.4. Запасы устойчивости по амплитуде и фазе
- •2.9. Точность сау в установившихся режимах
- •2.9.1. Точность сау в статическом стационарном режиме
- •2.9.1.2. Система управления с регулятором вида
- •2.9.2. Точность сау в динамическом стационарном режиме
- •2.9.3. Коэффициенты ошибок
- •2.9.4. Определение установившейся ошибки при движении сау по гармоническому закону
- •2.10. Повышение статической точности сау
- •2.10.1. Повышение коэффициента передачи k разомкнутой цепи
- •2.10.2. Повышение порядка астатизма сау
- •2.11. Синтез систем автоматического управления
- •2.11.1. Основные этапы синтеза сау.
- •2.11.2. Частотный синтез. Типовые лах
- •2.11.3. Выбор желаемой типовой лах
- •2.11.4. Связь параметров типовых лах между собой и с показателями качества переходного процесса
- •2.11.5. Определение передаточной функции корректирующего устройства
- •2.11.6. Пример синтеза сау
- •2.12. Корректирующие устройства сау
- •2.12.1. Виды корректирующих устройств
- •Библиографический список
- •Содержание
- •2. Линейные системы автоматического управления 24
2.7. Построение логарифмических характеристик сау
Передаточные функции разомкнутых и замкнутых САУ можно привести к виду
(2.143)
где – передаточные функции элементарных звеньев.
Тогда частотная передаточная функция
. (2.144)
Отсюда ФЧХ (ЛФЧХ), АЧХ и ЛАЧХ определяются выражениями
; (2.145)
; (2.146)
. (2.147)
Таким образом, результирующие логарифмические фазо-частотная и амплитудно-частотная характеристики могут быть построены как суммы ЛФЧХ (ЛАЧХ) отдельных звеньев.
Рассмотрим в качестве примера построение асимптотических логарифмических частотных характеристик разомкнутой САУ, передаточная функция которой равна
, (2.148)
где k = 10; T = 10 c.
Выражение (2.148) свидетельствует о том, что разомкнутая цепь САУ содержит последовательно включенные интегрирующее и апериодическое звенья
. (2.149)
Рассчитаем сопрягающую частоту апериодического звена .
Согласно выражению (2.36), асимптотическая ЛАХ рассматриваемого интегрирующего звена
. (2.150)
Она проходит через точку с координатами – см. рисунок 2.53.
Рисунок 2.53
В соответствии с формулами (2.35) и (2.36), асимптотическая ЛАХ рассматриваемого апериодического звена
. (2.151)
Она проходит через точку с координатами – см. рисунок 2.53.
График результирующей ЛАХ разомкнутой САУ приведен на рисунке 2. 54 (сплошная линия).
Рисунок 2.54
Отметим, что продолжение низкочастотной асимптоты ЛАХ (пунктирная линия на рис. 2.54) по-прежнему (как и на рис. 2.53) проходит через точку с координатами .
В соответствии с выражениями (2.43) и (2.30), ЛФЧХ рассматриваемых интегрирующего и апериодического звеньев
; (2.152)
. (2.153)
Графики (2.152), (2.153), а также результирующей ЛФХ разомкнутой САУ ( ) приведены на рисунке 2.55.
Рисунок 2.55
Из данного примера следует, что для получения результирующей ЛАХ не обязательно строить ЛАХ отдельных звеньев. Рассмотрим следующий алгоритм построения.
1. Перепишем формулу (2.143) в виде
, (2.154)
где ;
– полиномы вида , ;
– полиномы вида , .
Отметим, что ЛАХ и ЛФХ дифференцирующего звена второго порядка с передаточной функцией отличаются от соответствующих характеристик колебательного звена только знаком.
2. Определяем сопрягающие частоты , и отмечаем их на оси абсцисс.
3. Строим низкочастотную асимптоту ЛАХ с наклоном ( ) дБ/дек. Ордината этой асимптоты или ее продолжение на частоте должна быть равна . Заканчивается низкочастотная асимптота на первой сопрягающей частоте.
4. После первой и всех последующих сопрягающих частот наклон асимптотической ЛАХ изменяется. На сопрягающих частотах, созданных полиномами числителя (2.154), изменение наклона положительное, а созданных полиномами знаменателя – отрицательное. Полином первой степени изменяет наклон на 20 дБ/дек, полином второй степени – на 40дБ/дек.
Рассмотрим в качестве примера построение ЛАХ разомкнутой САУ с передаточной функцией
, (2.155)
где k = 100; с; с; с; .
Тогда сопрягающие частоты ; ; . Наносим отметки сопрягающих частот на ось абсцисс (рис. 2.56).
Перепишем для удобства формулу (2.155) в порядке следования сопрягающих частот
. (2.156)
Строим низкочастотную часть ЛАЧХ (рис. 2. 56). Поскольку в функции (2.156) величина , то наклон ЛАХ в области низких частот равен (– 20 дБ/дек). Продолжение данной асимптоты проходит через точку с координатами . Заканчивается низкочастотная асимптота на первой сопрягающей частоте .
Рисунок 2.56
Поскольку первая сопрягающая частота создается полиномом знаменателя первого порядка , то он изменяет наклон второй асимптоты на (– 20 дБ/дек) – рисунок 2.56. Заканчивается вторая асимптота на второй сопрягающей частоте .
Вторая сопрягающая частота создается полиномом числителя первого порядка . В этом случае происходит изменение наклона третьей асимптоты на (+ 20 дБ/дек) – рисунок 2.56. Заканчивается третья асимптота на третьей сопрягающей частоте .
Третья сопрягающая частота создается полиномом знаменателя второго порядка , что приводит к изменению наклона четвертой асимптоты на (– 40 дБ/дек).