2.4.1. Усилительное звено (идеальное усилительное, безынерционное, пропорциональное)

Передаточная функция усилительного звена

, (2.10)

где k – коэффициент передачи усилительного звена.

2.4.1.1. Реализация с применением пассивных элементов. В качестве примера можно привести делитель напряжения на резисторах (рис. 2.6).

Рисунок 2.6

Передаточная функция устройства (рис. 2.6)

. (2.11)

2.4.1.2. Реализация с применением активных элементов (операционных усилителей). С помощью операционных усилителей возможна реализация устройств, выполняющих разнообразные математические операции. Широкое применение получили схемы вида (рис. 2.7), особенностью которых является инвертирование знака выходного сигнала по отношению к входному.

Рисунок 2.7

Элементы , (см. рис. 2.7)– это комплексные сопротивления прямой цепи и цепи обратной связи соответственно. Передаточные функции устройств вида (см. рис. 2.7) определяются по общему правилу как отношение операторного сопротивления цепи обратной связи к операторному сопротивлению прямой цепи:

. (2.12)

В выражении (2.12) знак «минус» учитывает инвертирование входного сигнала.

Усилительное звено может быть получено из схемы на рисунке 2.7, если в прямой цепи и цепи обратной связи использовать активные сопротивления (рис. 2.8).

Рисунок 2.8

На основании правила (2.12) передаточная функция этого инвертирующего усилителя

. (2.13)

2.4.1.3. Переходная характеристика. Поскольку данное звено является безынерционным, то переходная характеристика (рис. 2.9) повторяет по форме единичную ступенчатую функцию

. (2.14)

Рисунок 2.9

2.4.1.4. Частотные характеристики. Так как передаточная функция (2.10) не зависит от оператора p, то частотная передаточная функция не зависит от частоты :

. (2.15)

Перепишем формулу (2.15) в виде

. (2.16)

Сравнивая формулы (2.16) и (2.4), получим выражения для АЧХ и ФЧХ, а также действительной и мнимой частей АФЧХ

, (2.17)

, (2.18)

, (2.19)

. (2.20)

Графики частотных характеристик приведены на рисунке 2.10.

Рисунок 2.10

2.4.1.5. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика. На основании формул (2.6) и (2.17) выражение для ЛАХ рассматриваемого звена имеет вид

. (2.21)

График ЛАХ приведен на рисунке 2.11.

Рисунок 2.11

2.4.2. Апериодическое звено (инерционное, апериодическое первого порядка)

Передаточная функция

, (2.22)

где – коэффициент передачи и постоянная времени апериодического звена.

2.4.2.1. Реализация с применением пассивных элементов. В качестве примера можно привести активно-емкостный делитель напряжения (рис. 2.12).

Рисунок 2.12

Его передаточная функция

. (2.23)

Сравнивая выражения (2.23) и (2.22), получим , .

2.4.2.2. Реализация с применением активных элементов. В качестве примера можно привести цепь, изображенную на рисунке 2.13.

Рисунок 2.13

На основании правила (2.12) передаточная функция этого устройства

. (2.24)

Сравнивая выражения (2.24) и (2.22), получим , .

2.4.2.3. Переходная характеристика. График переходной характеристики (рис. 2.14) определяется формулой

. (2.25)

Рисунок 2.14

2.4.2.4. Частотные характеристики. Частотная передаточная функция апериодического звена получается путем замены в формуле (2.22):

. (2.26)

После проведения промежуточных преобразований представим формулу (2.26) в показательной и алгебраической формах записи:

, (2.27)

. (2.28)

Сравнивая формулы (2.27), (2.28) и (2.4), получим выражения для АЧХ и ФЧХ, а также действительной и мнимой частей АФЧХ

, (2.29)

, (2.30)

, (2.31)

. (2.32)

Графики частотных характеристик приведены на рисунке 2.15.

Рисунок 2.15

2.4.2.5. Логарифмические частотные характеристики. На основании формул (2.6) и (2.29) выражение для ЛАЧХ рассматриваемого звена имеет вид

. (2.33)

Построим приближенную (асимптотическую) ЛАЧХ, состоящую из отрезков прямых линий (асимптот). Для этого на ось абсцисс сначала наносят отметку так называемой сопрягающей частоты (рис. 2.16)

. (2.34)

В области малых частот выражение (2.33) принимает вид

. (2.35)

Формула (2.35) есть уравнение прямой, параллельной оси абсцисс (первая асимптота).

В области больших частот выражение (2.33) принимает вид

. (2.36)

Очевидно, что вторая асимптота (2.36) есть прямая с отрицательным наклоном, проходящая через точку с координатами .

Графики ЛАЧХ (истинной и асимптотической) и ЛФЧХ приведены на рисунке 2.16.

Рисунок 2.16

Определим «приращение» второй асимптоты ЛАХ на декаду:

,

или

.

Максимальное отклонение истинной ЛАХ (2.33) от асимптотической (рис. 2.16) имеет место на сопрягающей частоте :

дБ.