2. Линейные системы автоматического управления

2.1. Передаточные функции

Для анализа САУ необходимо располагать её математическим описанием (дифференциальным или интегро-дифференциальным уравнениями). Уравнения составляются на основе анализа механических, электромагнитных, тепловых и иных процессов в системе и применения законов механики, электротехники, гидравлики, теплотехники и т. д.

В ТАУ широкое применение получил способ математического описания, основанный на использовании передаточных функций отдельных элементов и системы в целом. Передаточные функции позволяют составлять математическую модель в виде наглядных структурных схем. Зная передаточную функцию системы и вид входного воздействия, можно рассчитать переходные процессы, определить ошибку регулирования.

Обозначим – входной сигнал какого-либо звена системы управления, – выходной сигнал этого звена (рис. 2.1).

Рисунок 2.1

Передаточной функцией называется отношение преобразования Лапласа выходной величины к преобразованию Лапласа входной величины при нулевых начальных условиях:

. (2.1)

Расчет переходных процессов с помощью передаточных функций осуществляется следующим образом.

1. Для известной временной функции находится ее изображение . В частном случае единичной ступенчатой функции ее изображение будет .

2. Определяется изображение выходной величины

. (2.2)

3. Осуществляется обратный переход от изображения к оригиналу с помощью теоремы разложения, таблиц соответствия и т. д.

2.2. Частотные характеристики

Для оценки отработки САУ гармонических воздействий пользуются частотными характеристиками. К ним относятся амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), фазо-частотная характеристика (ФЧХ), амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ).

Для их получения применяют частотную передаточную функцию , которая, в свою очередь, находится из передаточной функции путём замены . Поскольку чаще всего представляет собой рациональную дробь вида

, (2.3)

то частотная передаточная функция есть комплексная функция частоты

. (2.4)

Модуль частотной передаточной функции равен отношению амплитуды выходного гармонического сигнала к амплитуде входного гармонического сигнала.

Другими словами, функция есть зависимость коэффициента передачи от частоты. Аргумент частотной передаточной функции равен сдвигу фазы выходного сигнала по отношению к входному.

График функции называется амплитудно-частотной характеристикой, а график – фазо-частотной характеристикой (рис. 2.2).

Рисунок 2.2

Годограф частотной передаточной функции ), т.е. геометрическое место концов векторов при изменении частоты от нуля до бесконечности, представляет собой амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ), которую строят на комплексной плоскости (рис. 2.3).

Рисунок 2.3

Длина вектора, проведённого из начала координат в точку АФЧХ, соответствующую какой-либо выбранной частоте , равна модулю частотной передаточной функции , а угол между действительной осью и вектором – аргументу .