Пример 4.4
Проверить прочность стержней и определить перемещение узла A под действием груза P=3·104 Н. Дано: α=30°, l2=1 м, [σ]=160 МПа, E=2·105 МПа, F=1 см2. Материал и сечения стержней одинаковы (Рисунок4.23).
Рисунок 4.23
Система один раз статически неопределима, так как для вычисления усилий в трех ее стержнях можно составить лишь два независимых уравнения равновесия узла A.
Статическая сторона задачи.
Геометрическая сторона задачи (условия совместности деформаций).
Система после деформации показана на Рисунок 4.23. Удлинение крайнего стержня можно найти графически, проведя дугу радиуса AB с центром в точке B. Вследствие малости деформаций дугу этой окружности можно заменить перпендикуляром, опущенным из точки A на новое положение стержня. Изменениями угла α пренебрегаем, так как оно незначительно. Рассматривая заштрихованный прямоугольный треугольник, найдем связь между удлинениями первого и второго стержня:
.
Физическая сторона задачи.
Согласно закону Гука:
,
с учетом уравнения совместности деформаций, имеем:
или
.
Решая совместно уравнения равновесия и уравнение совместности деформаций, находим усилия в стержнях:
;
.
Наибольшее напряжение действует во втором стержне:
,
что меньше заданного допускаемого напряжения [σ]=160 МПа. Перемещение узла A равно удлинению второго стержня:
.
Пример 4.5
Определить напряжения в стержнях, возникающие в результате повышения температуры всех стержней на Δt=100оС (Рисунок 4.24).Балка считается абсолютно жесткой. Дано:
Статическая сторона задачи.
.
Геометрическая сторона задачи (условия совместности деформаций).
В результате термического расширения стержней балка займет положение, показанное на рисунок 4.24. Исходя из этого построения, легко составить условие совместности деформаций:
.
Рисунок 4.24
Физическая сторона задачи.
У медного стержня коэффициент температурного расширения больше, чем у стального. По этой причине медный стержень удлинился бы больше, чем стальной, если бы они деформировались отдельно. Но так как они связаны абсолютно жесткой балкой, то медный стержень, удлиняясь за счет термического воздействия, будет одновременно сокращаться за счет механического воздействия со стороны балки. Стальной стержень будет удлиняться как за счет термического расширения, так и за счет механического действия крайних стержней. Таким образом, абсолютная деформация стержней может быть представлена как сумма силовой и температурной деформаций:
,
.
Решая данные уравнения совместно с уравнениями равновесия и геометрическими соотношениями, получим:
,
,
,
.
Пример 4.6
Определить напряжения в стержнях, возникающие при сборке узла A из-за неточности изготовления стержней (Рисунок 4.25). Дано: F1=F2=F, E1=E2=E=2·105 МПа; l1=l2=l=1 м; α=30°, δ=1 мм.
Рисунок 4.25
Статическая сторона задачи.
.
Геометрическая сторона задачи (условия совместности деформаций).
Предположим, что после соединения, шарнир A займет положение A1 (Рисунок 4.25). Исходя из этого построения, можно составить условие совместности деформаций:
.
Строго говоря, удлинение Δl2 получается, если из точки B описать дугу радиуса l2, однако в силу малости деформаций, Δl2 можно получить, опуская перпендикуляр из точки A на новое направление стержня l2. В собранном состоянии угол между стержнями будет меньше, чем 2α. Однако, в силу малости деформаций, изменение угла отразится на пятом или шестом знаке косинуса, что не существенно.
Физическая сторона задачи.
Согласно закона Гука:
.
Решая совместно систему уравнений, получим:
