Пример 10.1

Определить напряжения в опасных точках бруса (рисунок 10.5) уголкового поперечного сечения. Дано: P=200 Н, l=1 м, E=2·10⁵ МПа. Равнобокий уголок № 5 имеет следующие геометрические характеристики: I_u=17,8 см⁴, I_v=4,63 см⁴, u_A=1,52 см, u_B= 2,01 см, v_A=3,53 см, v_B=0.

Так как для уголка главные центральные оси проходят под углом 45⁰ по отношению к исходным осям координат, а силовая плоскость вертикальна, имеет место косой изгиб.

При этом изгибающие моменты в главных плоскостях равны:

.

Напряжения в точках A, B определяются по уравнению (10.1)

Перемещения в главных плоскостях центра сечения конца консольной балки равны:

Полное перемещение равно:

Внецентренное растяжение (сжатие)

Внецентренное растяжение (сжатие) вызывается силой, параллельной оси бруса, но не совпадающей с ней (рисунок 10.6).

Рисунок 10.6.

Внецентренное растяжение (сжатие) может быть сведено к осевому растяжению (сжатию) и косому изгибу, если перенести силу P в центр тяжести сечения. Внутренние силовые факторы в произвольном поперечном сечении бруса равны:

,

(10.13)

где y_p, z_p - координаты точки приложения силы.

На основании принципа независимости действия сил напряжения в точках поперечного сечения при внецентренном растяжении (сжатии) определяются по формуле:

(10.14)

или

,

(10.15)

где - радиусы инерции сечения.

Выражение в скобках в уравнении (10.15) показывает во сколько раз напряжения при внецентренном растяжении (сжатии) больше напряжений центрального растяжения.

Уравнение нейтральной линии определяем из (10.15), приравнивая правую часть (10.15) нулю. После сокращения на P/F получим

.

(10.16)

Таким образом, нейтральная линия при внецентренном растяжении (сжатии) не проходит через центр тяжести сечения. Нейтральная линия отсекает на осях координат отрезки

.

(10.17)

Из формулы (10.17) видно, что точка приложения силы и нейтральная линия всегда расположены по разные стороны от центра тяжести сечения, причем положение нейтральной линии определяется координатами точки приложения силы (рисунок 10.7).

При приближении точки приложения силы к центру тяжести сечения (a и b по абсолютной величине возрастают) нейтральная линия будет удаляться от центра. При этом в сечении увеличивается доля напряжений одного знака, так как уменьшаются напряжения от изгиба. При удалении точки приложения силы от центра тяжести сечения (a и b по абсолютной величине убывают) нейтральная линия будет приближаться к центру. При этом в сечении увеличивается доля напряжений разного знака, так как возрастают напряжения от изгиба. В пределе при a=b=0 нейтральная линия удаляется в бесконечность. В этом случае будет иметь место центральное растяжение (сжатие) бруса.

Всегда можно найти такое положение точки приложения силы, при котором нейтральная линия будет касаться контура сечения, нигде не пересекая его. В этом случае в сечении напряжения будут только одного знака. Зона вблизи центра тяжести сечения, приложение продольной нагрузки в которой вызывает появление во всех точках сечения напряжений только одного знака, называется ядром сечения. До тех, пока точка приложения силы находится внутри ядра, нейтральная линия не пересекает контур сечения и напряжения во всем сечении будут одного знака. Если точка приложения силы расположена вне ядра, то нейтральная линия пересекает контур сечения, и тогда в сечении будут действовать напряжения разного знака. Указанное обстоятельство необходимо учитывать при расчете элементов конструкций из хрупких материалов, плохо воспринимающих растягивающие нагрузки. В этом случае необходимо прикладывать внешние силы так, чтобы во всем сечении действовали только напряжения сжатия. Для этого точка приложения равнодействующей внешних сил должна находиться внутри ядра сечения.

Рисунок 10.7.

Расчет на прочность при внецентренном растяжении (сжатии) производится так же, как и при косом изгибе, - по нормальному напряжению в опасной точке поперечного сечения. Опасной является точка сечения, наиболее удаленная от нейтральной линии. Однако, в тех случаях, когда в этой точке действует напряжение сжатия, а материал элемента конструкции хрупкий, опасной может быть точка, в которой действует наибольшее растягивающее напряжение. Эпюра напряжений строится на оси, перпендикулярной к нейтральной линии сечения и ограничена прямой линией. Условие прочности имеет следующий вид:

,

(10.18)

где y_A, z_A - координаты опасной точки, а [σ] - допускаемое напряжение на растяжение и сжатие.