Пример 5.1

Обосновать соотношение между диаметром d и высотой головки h болта (рисунок 5.7), если [τ]=0.6[σ].

Рисунок 5.7.

Срез головки болта происходит по цилиндрической поверхности F_cp=πdh. Условие прочности на срез имеет вид:

.

Условие прочности на растяжение стержня болта имеет вид:

.

Предельное отношение касательных и нормальных напряжений определяет искомое соотношение между высотой головки болта и его диаметром:

; .

5. Геометрические характеристики плоских сечений

Деформации и напряжения в брусе существенно зависят от размеров и формы его поперечных сечений. Поэтому во всех расчетных формулах обязательно присутствуют геометрические характеристики этих сечений. При одноосном растяжении и сжатии такой характеристикой является площадь сечения. В теории кручения и изгиба встречаются более сложные геометрические характеристики, так как в этих случаях напряжения и деформации зависят не только от площади, но и от формы сечения.

Определения

На рисунке 6.1 изображено произвольное сечение F, отнесенное к некоторой системе координат (y, z), где

• F - величина площади сечения;

• dF - элементарная часть этой площади;

• y, z - координаты элементарной площадки;

• ρ - радиус-вектор y;

• C - центр тяжести площади сечения.

Площадь F, ограниченная произвольной кривой, определяется по формуле:

.

(6.1)

Статические моменты площади F относительно осей y и z определяются по формулам:

.

(6.2)

Размерность статического момента сечения - [м³].

Если известна величина площади F и координаты ее центра тяжести, то S_y, S_z определяются по формулам:

.

(6.3)

Отсюда, если известна площадь и статические моменты, то координаты центра тяжести площади F определяются по формулам:

.

(6.4)

Оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются центральными. Относительно любых центральных осей статические моменты сечения равны нулю.

Центр тяжести сечения, имеющего ось симметрии, находится на этой оси.

Осевые моменты инерции площади F определяются по формулам:

.

(6.5)

Рисунок 6.1.

Центробежный момент инерции площади F определяется по формуле:

.

(6.6)

Полярный момент инерции (относительно начала координат) площади F определяется по формуле:

.

(6.7)

Так как :

.

(6.8)

Размерность моментов инерции - [м⁴]. Осевые моменты инерции всегда можно представить как произведения площади фигуры на квадраты некоторых вспомогательных величин, имеющих размерность длины и называемых радиусами инерции. Следовательно, радиусы инерции сечения относительно осей y и z определяются по формулам:

.

(6.9)

Осевые и полярный моменты инерции, представляющие собой пределы сумм положительных величин, всегда положительны, а центробежный момент инерции может быть величиной положительной, отрицательной и равной нулю, так как координаты y и z входят в его выражение в первых степенях.

Из самого смысла выражений для статических моментов и моментов инерции следует, что моменты инерции и статические моменты фигуры относительно каких-либо осей равны суммам соответствующих моментов всех ее частей относительно тех же осей. Это свойство будет использоваться в дальнейшем при расчете сложных сечений, которые можно разбивать на простые фигуры.

Моменты инерции и статические моменты сечения зависят от формы и размеров сечения, а также и от расположения осей координат. Какого-либо геометрического смысла эти величины не имеют. Поэтому формулы (6.1) (6.9) надо рассматривать и как определения этих геометрических характеристик. Названия им даны по формальной аналогии с динамическими моментами инерции тела и моментами сил.