Моменты сопротивления площади

Осевым моментом сопротивления площади сечения F относительно главной центральной оси называется отношение момента инерции площади относительно этой же оси к расстоянию до наиболее удаленной точки от этой оси

.

(6.34)

Размерность момента сопротивления – [м³]. Отношение полярного момента инерции площади сечения к наибольшему радиусу – вектору этой площади, называется полярным моментом сопротивления

.

(6.35)

Для площади прямоугольника

.

Для площади круга

.

Отсюда

.

Пример 6.1

Определить положение центра тяжести полукруга (рисунок 6.2).

Решение. Направим ось y по оси симметрии полукруга, а ось z совместим с его основанием. В этом случае z_c=0, надо определить только координату y_c. Подсчитаем S_z непосредственным интегрированием по площади полукруга:

.

Далее по формуле (6.4) находим расстояние центра тяжести от основания полукруга:

.

Рисунок 6.2.

6. Кручение Внутренние силовые факторы при кручении

Кручением называется такой вид нагружения бруса, при котором из шести составляющих главного вектора и главного момента внутренних сил от нуля отличается только крутящий момент.

При кручении бруса его поперечные сечения поворачиваются друг относительно друга, вращаясь вокруг оси бруса. Вызывается кручение парами сосредоточенных и распределенных вдоль оси бруса сил, действующих в плоскостях, перпендикулярных этой оси. Брус, работающий на кручение, называется валом. Моменты, вызывающие деформацию кручения, называются крутящими моментами. Величина крутящего момента, действующего в каком-либо сечении вала, определяется методом сечений (см. рисунок 7.1). Величина крутящего момента может быть задана мощностью, передаваемой на вал, например через шкив:

,

(7.1)

где N - мощность, передаваемая на вал [Ватт]; ω [1/сек] – круговая частота вращения вала; n - число оборотов вала [об/мин]. Если мощность задан в лошадиных силах, для перевода в систему Си следует помнить, что 1 л.с. = 736 Ватт.

Рисунок 7.1.

Напряжения и деформации при кручении бруса круглого поперечного сечения

Под действием внешнего скручивающего момента, приложенного на правом конце вала (рисунок 7.2), левый конец которого жестко закреплен, стержень будет закручиваться. При этом любое сечение стержня, оставаясь плоским, будет поворачиваться на некоторый угол φ_к, называемый углом закручивания. Этот угол изменяется по длине вала от нуля в заделке до максимального на правом конце вала. При этом образующая внешней цилиндрической поверхности вала повернется на угол γ, называемый углом сдвига. Этот угол изменяется вдоль радиуса сечения от нуля на оси вала до - γ_max на внешней поверхности. Опыт показывает, что после закручивания бруса круглого сечения поперечные линии, нанесенные на его поверхности, остаются плоскими, а диаметры сечений и расстояния между ними не изменяются. При этом прямоугольная сетка превратится в сетку, состоящую из параллелограммов, что свидетельствует о наличии касательных напряжений в поперечных сечениях бруса, а по закону парности касательных напряжений – и в продольных его сечениях, то есть напряженное состояние в точках скручиваемого стержня представляет собой чистый сдвиг. На основании опыта вводятся следующие гипотезы:

1. Нормальные напряжения в поперечных сечениях отсутствуют (иначе изменялись бы расстояния между сечениями).

2. Поперечные сечения при кручении остаются плоскими.

3. Радиусы в поперечных сечениях остаются прямолинейными (не искривляются).

Рисунок 7.2.

С учетом указанных гипотез геометрическая картина деформаций вала представлена на рисунок 7.2. Рассмотрим, вырезанный из вала клиновидный элемент (см. рисунок 7.2) длиной dx. Из рисунка видно, что

,

(7.2)

откуда следует, что угол сдвига изменяется по радиусу вала по линейному закону.

Согласно закону Гука при сдвиге (3.34), имеем:

откуда получаем:

,

(7.3)

что касательные напряжения в сечении вала изменяются по радиусу по линейному закону.

При чистом кручении все внутренние силы, распределенные по поперечному сечению, приводятся к одной составляющей – крутящему моменту относительно нормальной к сечению оси. Касательные напряжения перпендикулярны радиусам, проведенным через точки их действия (рисунок 7.3).

Рисунок 7.3.

Для доказательства этого будем исходить от противного, то есть, предположим, что касательное напряжение не перпендикулярно радиусу. Это означает, что в каждой точке сечения, кроме касательных напряжений, перпендикулярных радиусам, действуют радиально направленные касательные напряжения. Но если это так, то по закону парности и на цилиндрической поверхности радиуса ρ или r будет действовать касательное напряжение, что неверно, так как на боковой поверхности нет напряжений.

Крутящий момент в сечении бруса определяется из уравнения (3.5):

или в более краткой записи

,

(7.4)

где ρ - плечо элементарной касательной силы τ

,

(7.5)

где - есть полярный момент инерции сечения. С учетом уравнения (7.3) можно определить касательное напряжение в произвольной точке поперечного сечения вала, определяемой радиусом ρ:

,

(7.6)

а также максимальное касательное напряжение, действующее на контуре вала:

,

(7.7)

где W_p - полярный момент сопротивления.

Эпюра распределения касательных напряжений по радиусу показана на рисунке 7.4 для сплошного и полого валов.

Рисунок 7.4.

Угол закручивания вала нетрудно определить на основе полученного выше уравнения:

,

из которого с учетом (7.6) имеем:

.

(7.8)

Угол закручивания всего бруса

.

(7.9)

Если брус имеет несколько участков с различными аналитическими выражениями для М_кр или различными выражениями I_p, то

.

(7.10)

В частном случае при М_кр(x)=const или I_p=const, то есть только для бруса постоянного сечения, нагруженного по концам сосредоточенными парами,

.

(7.11)