Расчет равномерно вращающегося прямого бруса

Предположим, что прямой брус постоянного поперечного сечения с подвешенным грузом равномерно вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа (рисунок 14.8). Определим напряжения в сечениях бруса.

Рисунок 14.8.

При отсутствии вращения напряжения в поперечных сечениях бруса изменяются по линейному закону:

,

где ρ - плотность материала бруса; F - площадь поперечного сечения; G - вес груза.

Применяя принцип Даламбера, приложим к каждому элементу бруса силу инерции, равную массе этого элемента, умноженной на его центростремительное ускорение. Динамическая продольная сила будет равна:

.

После интегрирования динамически напряжения определяются по следующей формуле:

.

Напряжения изменяются по квадратичному закону и достигают максимума на оси вращения

.

Перемещение текущего сечения бруса

.

Полагая в этом выражении r=l, находим удлинение всего бруса, вызванное его вращением.

При отсутствии груза следует исключить в формулах величину G.

При вращении стержня относительно вертикальной оси (рисунок 14.9) полученные выше формулы для динамических усилий, напряжений и перемещений нетрудно модифицировать. Так, например, динамические напряжения будут равны:

Рисунок 14.9.

.

Вращающиеся рамы

Рассмотрим несколько примеров расчета вращающихся рам.

Стержень регулятора с прикрепленным к нему грузом массой Q вращается вокруг оси О-О (рисунок 14.10, а) с постоянной угловой скоростью ω=const. Построим эпюру изгибающих моментов, полагая, что масса рамы мала по сравнению с массой груза.

Сила инерции груза P=Qω²a.

Рассматривая силу инерции груза как единственную внешнюю нагрузку на брус, строим эпюру изгибающих моментов (рисунок 14.10, б). Максимальный изгибающий момент

.

Рисунок 14.10.

Рассмотрим более сложный пример. Прямоугольная рама постоянного сечения (рисунок 14.11, а) вращается вокруг вертикальной оси симметрии с угловой скоростью ω=const. Определим изгибающие моменты в сечениях рамы, вызванные ее вращением.

На горизонтальных элементах рамы интенсивность сил инерции изменяется по линейному закону q=ρFω²x. На вертикальных элементах интенсивность инерционной нагрузки постоянна и равна q=ρFω²a (направление этих сил показано на рисунок 14.11,б стрелками).

Рисунок 14.11.

Основную систему выберем, рассекая раму по вертикальной оси симметрии. Из условия симметрии системы относительно вертикальной и горизонтальной осей следует, что в сечениях по вертикальной оси симметрии перерезывающие силы равны нулю, осевые силы согласно уравнению Σx=0 будут

.

Для определения неизвестных изгибающих моментов X₁ в этих сечениях составим каноническое уравнение

,

коэффициенты которого вычислим способом Верещагина. Перемножая эпюры от внешних и единичных сил (рисунок 14.11), получаем

.

Подставляя значения δ_1P и δ₁₁ в каноническое уравнение и решая его относительно X₁, имеем X₁=qa²/36.

Суммируя изгибающие моменты в сечениях рамы от заданной нагрузки и X₁, строим эпюру изгибающих моментов (рисунок 14.12). Опасными являются сечения рамы, расположенные на горизонтальной оси симметрии, изгибающие моменты в которых

.

Рисунок 14.12.