- •Бийский технологический институт (филиал)
- •170104.65 – Высокоэнергетические устройства
- •160302.65 - Ракетные двигатели
- •Оглавление
- •Введение
- •Принципы сопротивления материалов Принцип Сен-Венана
- •Принцип независимости действия сил
- •Принцип начальных размеров
- •Внутренние силы. Метод сечений
- •Напряжения и деформации Напряжения
- •Связь компонентов внутренних сил с напряжениями
- •Определение напряжений на наклонных площадках
- •Определение главных напряжений и главных площадок
- •Плоское напряженное состояние
- •Графический способ определения напряжений Круги Мора
- •Графическое определение главных напряжений и положения главных площадок
- •Деформации. Деформированное состояние в точке тела
- •Обобщенный закон Гука для изотропного тела
- •Удельная потенциальная энергия деформации
- •Пример 3.1
- •Растяжение-сжатие Определение внутренних усилий
- •Определение напряжений
- •Определение деформаций и перемещений
- •Определение механических свойств материала при растяжении
- •Диаграммы условных и истинных напряжений
- •Механические характеристики материалов
- •Закон разгрузки и повторного нагружения
- •Пластичные и хрупкие материалы
- •Механические свойства при сжатии
- •Влияние температуры на механические характеристики
- •Ползучесть, последействие и релаксация
- •Длительная прочность
- •Коэффициент запаса прочности. Выбор допускаемых напряжений
- •Основные типы задач при расчете на прочность растянутых (сжатых) стержней
- •Пример 4.1
- •Пример 4.2
- •Пример 4.3
- •Анализ напряженного состояния при растяжении (сжатии)
- •Потенциальная энергия деформации при растяжении
- •Концентрация напряжений
- •Статически неопределимые задачи при растяжении и сжатии
- •Пример 4.4
- •Пример 4.5
- •Пример 4.6
- •Сдвиг (срез) Определение внутренних сил, напряжений и деформаций при сдвиге
- •Анализ напряженного состояния при сдвиге
- •Потенциальная энергия деформации при чистом сдвиге
- •Расчет на прочность при сдвиге
- •Расчет заклепочного соединения
- •Пример 5.1
- •Геометрические характеристики плоских сечений
- •Определения
- •Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей
- •Моменты инерции простейших фигур
- •Вычисление моментов инерции сложных фигур
- •Изменение моментов инерции при повороте осей координат
- •Главные оси и главные моменты инерции
- •Моменты сопротивления площади
- •Пример 6.1
- •Кручение Внутренние силовые факторы при кручении
- •Напряжения и деформации при кручении бруса круглого поперечного сечения
- •Напряженное состояние при кручении
- •Потенциальная энергия деформации при кручении
- •Направление вектора касательного напряжения в контурных точках сечения цилиндрического бруса
- •Кручение тонкостенного бруса замкнутого профиля
- •Кручение бруса прямоугольного сечения
- •Кручение тонкостенного бруса открытого профиля
- •Пример 7.1
- •Расчеты на прочность и жесткость при кручении
- •Пример 7.2
- •Пример 7.3
- •Пример 7.4
- •Расчет цилиндрических винтовых пружин малого шага
- •Статически неопределимые задачи при кручении
- •Плоский прямой поперечный изгиб Основные понятия и определения
- •Плоский прямой изгиб
- •Нормальные напряжения при чистом прямом изгибе
- •Касательные напряжения при плоском прямом изгибе. Формула Журавского
- •Пример 8.1
- •Пример 8.2
- •Расчеты на прочность при поперечном изгибе
- •Потенциальная энергия деформации при изгибе
- •Перемещения при изгибе Дифференциальное уравнение упругой линии балки и его интегрирование
- •Пример 8.4
- •Пример 8.5
- •Пример 8.6
- •Расчет на жесткость при изгибе
- •Определение перемещений с помощью интеграла Мора
- •Пример 8.7
- •Определение перемещений с помощью способа Верещагина
- •Пример 8.9
- •Пример 8.10
- •Определение перемещений с помощью правила «дирижера»
- •Критерии предельного состояния материала при сложном напряженном состоянии. Теории прочности
- •Гипотезы (теории) прочности
- •Критерии разрушения
- •Гипотеза наибольших нормальных напряжений (I теория прочности)
- •Гипотеза наибольших линейных деформаций (II теория прочности)
- •Критерии пластичности
- •Гипотеза наибольших касательных напряжений (III теория прочности)
- •Теория наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения (IV теория прочности)
- •Теория прочности Мора (V теория прочности)
- •Замечания о выборе теории прочности
- •Пример 9.1
- •Пример 9.2
- •Пример 9.3
- •Пример 9.4
- •Расчет на прочность при сложном сопротивлении
- •Косой (двойной) изгиб
- •Пример 10.1
- •Внецентренное растяжение (сжатие)
- •Пример 10.2
- •Пример 10.3
- •Изгиб с кручением
- •Общий случай сложного сопротивления
- •Перемещения в пространственном брусе малой кривизны при произвольной нагрузке
- •Пример 11.1
- •Пример 11.2
- •Статически неопределимые стержневые системы Статическая неопределимость
- •Метод сил. Канонические уравнения
- •Вычисление коэффициентов канонических уравнений
- •Пример 12.1
- •Пример 12.2
- •Определение перемещений в статически неопределимых системах
- •О рациональном выборе основной системы. Использование прямой и обратной симметрии
- •Пример 12.3
- •Пример 12.4
- •Пример 12.5
- •Пример 12.6
- •Устойчивость сжатых стержней. Продольный изгиб Понятие об устойчивости первоначальной формы равновесия
- •Определение критической силы. Формула Эйлера
- •Пределы применимости формулы Эйлера
- •Устойчивость сжатых стержней за пределами упругости. Полная диаграмма критических напряжений
- •Практические способы расчета на продольный изгиб
- •Пример 13.1
- •Расчет на устойчивость с помощью коэффициента снижения основного допускаемого напряжения
- •Рациональные формы сечений сжатых стержней
- •Пример 13.2
- •Расчет элементов конструкций, движущихся с ускорением Внутренние силы, вызванные движением. Силы инерции
- •Расчет поступательно движущихся систем
- •Напряжения в тонкостенном вращающемся кольце
- •Расчет равномерно вращающегося прямого бруса
- •Вращающиеся рамы
- •Расчет на прочность при ударном действии нагрузок Удар. Основные понятия
- •Вертикальный удар
- •Пример 15.1
- •Пример 15.2
- •Пример 15.3
- •Вертикальный удар вследствие внезапной остановки движения
- •Горизонтальный удар
- •Скручивающий удар
О рациональном выборе основной системы. Использование прямой и обратной симметрии
Рациональной основной системой для заданной статически неопределимой конструкции является такая система, при которой наибольшее число побочных коэффициентов канонических уравнений обращается в нуль. Чем больше коэффициентов канонических уравнений равно нулю, тем, очевидно, проще и легче решить эти уравнения.
Упрощать решения задачи раскрытия статической неопределимости можно использованием симметричных и обратно симметричных стержневых систем. Отметим, что внутренние силовые факторы в сечении бруса можно также разделить на симметричные и обратно симметричные. К симметричным силовым факторам относятся изгибающие моменты My, Mz и нормальные силы N, так как в двух смежных сечениях бруса они симметричны относительно плоскости разреза (рисунок 12.9), а к обратно (косо) симметричным относятся перерезывающие силы Qy, Qz и крутящие моменты Mx, поскольку они обратно симметричны относительно плоскости разреза.
Рисунок 12.9.
Первая группа силовых факторов вызывает симметричные а вторая - обратно симметричные относительно плоскости разреза деформации прилегающих к разрезу частей бруса.
Рассмотрим сначала особенности симметричных стержневых систем. Геометрически симметричная стержневая система с нагрузкой симметричной относительной той же оси (плоскости), называет симметричной.
Вследствие полной симметрии такая система имеет симметричный вид и после деформации. Следовательно, перемещения симметричных сечений симметричны по направлению. Это означает, что в симметричных сечениях симметричной системы одноименные силовые факторы (а в опорных сечениях - опорные реакции) равны по величине и симметричны по направлению.
Если разрезать симметричную систему по оси (плоскости) симметрии, то нетрудно заметить, что обратно симметричные внутренние силовые факторы в этом сечении должны быть равны нули Действительно, обратно симметричные силовые факторы будут вызывать обратно симметричные деформации, которые противоречат характеру деформаций симметричной системы. Таким образом, в сечении по оси симметрии симметричной системы крутящие моменты Mx и перерезывающие силы Qy, Qz всегда равны нулю.
Покажем справедливость этих выводов на примере плоской симметричной рамы (рисунок 12.10). Эта рама представляет собой плоский замкнутый контур и является трижды статически неопределимой системой. Выберем основную систему разрезом по оси симметрии. Допустим, что все внутренние силовые факторы - изгибающие моменты X1, нормальные силы X2 и перерезывающие силы X3 - отличны от нуля.
Рисунок 12.10.
Раскрывая статическую неопределимость задачи методом сил, запишем систему канонических уравнений
Для вычисления ее коэффициентов построим эпюры изгибающих моментов от заданной и единичных нагрузок (см. рисунок 12.10).
Эпюры от заданных нагрузок, изгибающих моментов и нормальных сил симметричны, а от перерезывающих сил - обратно симметричны. Произведение симметричной эпюры на обратно симметричную равно нулю, поэтому коэффициенты канонических уравнений
.
В результате система канонических уравнений принимает вид
Коэффициент δ33 отличен от нуля и поэтому перерезывающая сила X3 равна нулю.
Итак, в сечении по оси симметрии симметричной стержневой системы обратно симметричные силовые факторы равны нулю.
Вычисляя остальные коэффициенты канонических уравнений, получаем
.
Решая систему канонических уравнений, находим
.
Суммарная эпюра изгибающих моментов симметрична относительно оси симметрии рамы, так как ее ординаты представляй собой суммы ординат симметричных эпюр «P», «1» и «2» (ординаты двух последних увеличиваются соответственно в X1 и X2 раз). Таким образом, подтверждено и второе свойство симметричных систем: силовые факторы в симметричных сечениях симметричной стержневой системы равны по величине и симметричны по направлению.
Итак, основную систему в симметричных конструкциях надо выбирать путем удаления лишних связей на оси симметрии и следить за тем, чтобы и эквивалентная система была симметричной (только при этом условии реализуются свойства симметричных систем). Если в конструкции имеется стержень, направленный вдоль оси симметрии, то основную систему надо выбирать путем удаления лишних связей в симметричных сечениях.