Рациональные формы сечений сжатых стержней

При заданных нагрузке, длине стержня, допускаемом напряжении форма и размеры поперечного сечения сжатого стержня характеризуются радиусом инерции. Радиус инерции величина размерная. Для сравнения различных сечений между собой более удобной является безразмерная величина

,

(13.21)

которую называют удельным радиусом инерции.

В таблице 13.2 приведены значения ρ_min для некоторых наиболее распространенных сечений:

Таблица 13.2.

Тип сечения	ρmin
Прямоугольник при h/b=2	0.204
Квадрат	0.289
Круг	0.36
Двутавр	0.27-0.41
Швеллер	0.38-0.45
Уголки равнобокие	0.4-0.6
Кольцо при α=0.7-0.9	0.86-1.53

Как видно из таблицы 13.2, наименее выгодными являются прямоугольные сплошные сечения, у которых моменты инерции относительно главных осей не равны между собой и, следовательно, не соблюдается принцип равной устойчивости стержня в обеих главных плоскостях инерции.

Наиболее выгодными являются кольцевые, а также коробчатые тонкостенные сечения. Подсчеты показывают, что замена сжатых сечений в виде уголков и двутавров трубчатыми стержнями дает экономию в материале до 20-40%.

Пример 13.2

Подобрать двутавровое сечение сжатого стержня с шарнирным закреплением концов, если сжимающая сила P=500 кН, длина стержня 2 м. Основное допускаемое напряжение 160 МПа.

Принимая в качестве первого приближения φ₁=0.5, получаем

Из таблиц сортамента (ГОСТ 8239-89) выбираем двутавр №36, у которого F=61.9 см².

Наименьший радиус инерции из тех же таблиц сортамента i_min=2,89 см. Гибкость стержня λ=μl/i_min=1•200/2.89=69.5.

Коэффициент φ по таблице 13.1 для стали СтЗ при λ=70 равен φ₁=0.81.

Разница между φ и φ₁ значительная, поэтому повторим расчет, принимая

.

Тогда

.

Принимаем двутавр №30, у которого F=46,5 см², i_min=2,69 см. Гибкость стержня

.

Коэффициент φ из таблицы 13.1 (интерполируя значения, соответствующие λ=70 и 80) получаем равным φ₂=0.78.

Напряжение в поперечном сечении стержня получается при этом

Допускаемое же напряжение при расчете на устойчивость

Недонапряжение составляет (122,5-108)•100/122,5=11,8%. Делаем еще одну попытку. Примем φ₃=(0,78+0,65)/2=0,72. Получим

Принимаем двутавр №27, у которого F=40,2 см², i_min=2,54 см. Получим гибкость стержня λ=200/2,54=79.

Из таблиц коэффициент φ₃=0,75.

Напряжение

Допускаемое напряжение

Перенапряжение (125-120)•100/120=4.2%, что допустимо.

13. Расчет элементов конструкций, движущихся с ускорением Внутренние силы, вызванные движением. Силы инерции

Во всех предыдущих разделах мы предполагали, что нагрузки прикладываются к брусу статически, а сам брус неподвижен. Между тем многие детали машин по условиям их работы находятся в состоянии неравномерного движения. Такие детали испытывают дополнительные нагрузки, вызванные их неравномерным движением.

Расчет деталей машин на динамическую нагрузку более сложен, чем расчет на статическую нагрузку. Трудность заключается, с одной стороны, в более сложных методах определения внутренних усилий и напряжений, возникающих от действия динамической нагрузки, и, с другой стороны – в более сложных методах определения механических свойств материалов при динамической нагрузке. Например, при действии ударной нагрузки многие материалы, которые при статическом действии нагрузок оказывались пластичными, работают как хрупкие. Эксперименты также показывают, что при ударном растяжении предел текучести повышается на 20-70%, а предел прочности на 10-30% по сравнению со статическим растяжением. Пластичность с ростом скорости деформирования убывает. Уже при сравнительно невысоких скоростях нагружения наблюдается склонность к хрупкому разрушению. Допускаемые напряжения, таким образом, при динамическом нагружении, должны назначаться в зависимости от скорости нагружения. В первом приближении для этих целей можно использовать соответствующие характеристики механических свойств, полученные при статическом нагружении.

Для определения усилий, возникающих в движущемся теле или системе тел, наиболее удобно пользоваться принципом Даламбера. Применительно к рассматриваемым далее задачам этот принцип можно сформулировать следующим образом.

Если движущееся тело (систему тел) в какой-то момент времени представить себе находящимся в покое, но помимо сил, производящих движение, приложить к нему силы инерции, то в таком покоящемся теле будут существовать такие же внутренние усилия, напряжения и деформации, какие имеют место во время его движения.

Например, при вращении груза массой m, прикрепленного к проволоке длиной l, груз будет двигаться вокруг оси вращения с центростремительным ускорением j=v²/l=ω²l, вследствие чего в проволоке возникает растягивающее усилие.

Сила инерции груза равна произведению массы груза на ускорение его движения и направлена в сторону, противоположную направлению ускорения (рисунок 14.1):

,

(14.1)

где v - окружная скорость, ω=2πn/60 - угловая скорость движения груза, n - частота вращения груза (об/мин), l - радиус вращения (м), m - масса (кг).

Эта сила и вызывает равное ей усилие в проволоке. Сила натяжения проволоки - это вполне реальная сила, появляющаяся вследствие движения груза m с центростремительным ускорением j. Можно узнать, при какой частоте вращения проволока разорвется. Пусть масса груза m=0.1 кг, l=1 м, диаметр проволоки d=1 мм, а предел прочности материала проволоки σ_в=1500 МПа. Растягивающее напряжение в поперечном сечении проволоки

Проволока разорвется при σ=σ_в. Из этого условия находим предельную частоту вращения

Рисунок 14.1.

Усилие, возникающее в проволоке в результате вращения груза, может быть определено на основании закона динамики неравномерно движущихся тел и без введения сил инерции. Действительно, центростремительное ускорение сообщается грузу проволокой. Следовательно, она действует на груз с центростремительной силой, равной произведению массы груза на его ускорение. Но по закону действия и противодействия такой же силой растягивается и сама проволока, поэтому усилие в ней

.

Таким образом, опираясь только на законы динамики, можно определить усилия, напряжения и деформации в любой неравномерно движущейся детали. Однако для практических целей удобнее пользоваться принципом Даламбера, так как он позволяет свести задачи динамики к задачам статики, методы решения которых подробно разработаны.

В этой главе будут рассмотрены системы большой жесткости, ускорения частиц которых мало зависят от деформации этих систем и поэтому мгут быть определены методами кинематики твердого тела, изложенными в курсе теоретической механики.