Практические способы расчета на продольный изгиб

Расчет стоек на продольный изгиб затруднен тем, что критические напряжения для стоек малой, средней и большой гибкости определены различными формулами и не всегда заранее известно, какой из них надо пользоваться при определении критической нагрузки.

В расчетах стержней на продольный изгиб встречаются задачи двух типов.

Тип первый. Заданы размеры, материал и условия закрепления стержня и выбран коэффициент запаса устойчивости n_y. Требуется определить допускаемую нагрузку Р_доп.

Определяем радиус инерции i поперечного сечения и гибкость стержня

.

Сравнивая найденное значение λ с λ_o (см. уравнение (13.14)), устанавливаем, применима ли Эйлера. Если λ>λ_o, то формула Эйлера применима и Р_доп можно найти из условия

.

(13.18)

Если λ<λ_o, то формула Эйлера не применима. В этом случае для определения Р_доп можно воспользоваться формулой (13.17) или уравнениями (13,15), (13.16).

В обоих случаях можно вести также расчет, определяя критические напряжения для найденного значения λ непосредственно по полной диаграмме критических напряжений.

Тип второй. Заданы нагрузка Р, коэффициент запаса устойчивости n_y, материал, условия закрепления и форма поперечного сечения стержня. Требуется подобрать размеры сечения.

Форму сечения стараются подобрать так, чтобы моменты инерции относительно его главных центральных осей возможно меньше отличались друг от друга. В рассматриваемом случае неизвестна гибкость стержня λ, так как неизвестны размеры сечения, и, следовательно, неизвестно, по какой из формул для σ_к вести расчет. Задачу подбора размеров сечения приходится решать методом последовательных приближений.

Первоначально воспользуемся формулой Эйлера для определения I_min. Затем подберем размеры, соответствующие найденному значению I_min. Далее определим гибкость выбранного стержня и проверим, можно ли было вести расчет по формуле Эйлера.

Если λ>λ_o, то формула Эйлера применима и задача подбора размеров поперечного сечения решена.

Если λ<λ_o, то расчет по формуле Эйлера вести было нельзя и найденные размеры сечения меньше требуемых. В этом случае зададимся размерами, большими вычисленных по формуле Эйлера. Для принятых размеров определим Р_доп с помощью одной из формул: (13.15), (13.16), (13.17), и сравним найденное значение Р_доп=σ_кF/n_y с заданной нагрузкой Р. Если разница между Р_доп и заданной нагрузкой Р меньше 5%, то останавливаемся на выбранных размерах, и расчет закончен. Если же разница больше 5%, то расчет надо повторить, изменив размеры сечения.

Пример 13.1

Определить допускаемую нагрузку для стойки (рисунок 13.12), выполненной из двутавра №18, в случаях l=4 м и l=2.5 м, принимая запас устойчивости n_y=2.5.

Данные для сечения двутавра № 18: площадь F=30,6 см², i_min=i_y=2,0 см, I_min=I_y=122 см⁴.

Рисунок 13.12.

Для материала стоек λ_o=100. Гибкость первой стойки λ=μl/i_min=0,7•400/2=140>100.

Поэтому для определения критической силы надо воспользоваться формулой Эйлера, а допускаемую нагрузку определить по формуле (13.18):

Гибкость второй стойки λ=μl/i_min=0,7•250/2=87.5<100.

Следовательно, выпучивание стойки происходит при σ_r>σ_пц и для определения допускаемой нагрузки можно воспользоваться формулой

.

Отсюда