Плоский прямой изгиб

При плоском прямом изгибе действие внешних сил вызывает появление в поперечном сечении одного изгибающего момента и одной поперечной силы. Это возможно в том случае, если в поперечном сечении действуют нормальные σdF и касательные τdF усилия, то есть имеет место сложное сопротивление – изгиб со сдвигом (рисунок 8.5).

Рисунок 8.5.

При этом силы σdF не могут уравновесить поперечную силу Q_y, а силы τdF не могут уравновесить M_z, поэтому

,	(8.4)
.	(8.5)

Нормальные напряжения имеют определенное направление – нормальное к сечению. В направлении касательных напряжений такой стабильности нет. На периферийных участках касательные напряжения параллельны контуру сечения. Следовательно, направление касательных напряжений от точки к точке меняется в зависимости от формы контура и положения точки у контура. Вероятно, что и в других точках сечения касательные напряжения имеют разное направление. В общем случае плоского прямого изгиба касательные силы τdF образуют острые углы с осью симметрии y и поэтому имеют в каждой точке сечения по две составляющие: параллельные и нормальные к оси симметрии.

Нормальные напряжения при чистом прямом изгибе

Как отмечалось выше, нормальные напряжения зависят только от изгибающих моментов, поэтому вывод формулы для вычисления σ можно производить применительно к чистому изгибу, при котором во всех сечениях Q=0 и, в силу (8.1), M_z=const.

Чистый прямой изгиб характеризуется следующим.

1). На выпуклой стороне волокна растягиваются, а на вогнутой – сжимаются. В этом можно убедиться, если с той и другой стороны балки сделать надрезы; на выпуклой стороне они разойдутся, а на вогнутой – сойдутся.

2). Если на боковой стороне балки нанести прямоугольную сетку, то будет видно, что переход от сжатых волокон к растянутым и наоборот происходит непрерывно и что между ними есть нейтральный слой, то есть волокна, длина которых при изгибе не изменяется (рисунок 8.6).

Рисунок 8.6.

При плоском изгибе нейтральный слой образует цилиндрическую поверхность, образующие которой лежат в поперечных сечениях и называются нейтральными линиями. Нейтральные линии, так же как и нейтральный слой служат границами между растягивающими и сжимающими напряжениями. На самой нейтральной линии напряжений нет.

Проекция нейтрального слоя на плоскость изгиба (плоскость симметрии), в случае упругих деформаций, называется упругой линией балки. Упругая линия балки, будучи частью нейтрального слоя длину не меняет.

3). В силу эффекта Пуассона в растянутой зоне поперечные сечения сужаются, а в сжатой – расширяются.

4). Плоские поперечные сечения, нормальные к упругой линии балки до изгиба, остаются плоскими и нормальными к ней после изгиба (гипотеза плоских сечений Я. Бернулли – 1705 г.).

5). Продольные волокна не оказывают давления друг на друга, а испытывают только осевое растяжение или сжатие. Иначе говоря, σ_y=0.

6). Картина деформаций по ширине сечения не изменяется, то есть нормальные напряжения распределены по ширине сечения равномерно.

Рассмотрим балку длиной l до и после чистого прямого изгиба (рисунок 8.7). Относительное удлинение волокна (слоя) AB, удаленного на расстояния y от нейтрального слоя

.

(8.6)

Рисунок 8.7.

Это равенство является аналитическим выражением гипотезы плоских сечений. Так как предполагается, что продольные волокна не давят друг на друга, согласно закона Гука нормальные напряжения в волокне AB равны

.

(8.7)

Отношение E/ρ в сечении есть величина постоянная, следовательно, напряжения, так же как и деформации волокон, изменяются по линейному закону (рисунок 8.7).

Для определения нормальных напряжений необходимо знать положение нейтрального слоя, то есть ρ. Для этого рассмотрим условия равновесия между нагрузочным моментом, действующим на какое-нибудь симметричное сечение F и внутренними силами σdF, распределенными по этому сечению (рисунок 8.8.).

Первое условие имеет вид

или согласно (8.7)

.

Так как E/ρ≠0, следовательно

.

Данный интеграл есть статический момент площади поперечного сечения относительно нейтральной линии z; он равен нулю, следовательно, нейтральные линии проходят через центры тяжести своих поперечных сечений, то есть являются центральными осями, а упругая линия является геометрической осью балки.

Второе, третье и четвертое условия удовлетворяются тождественно. Шестое условие:

или согласно (8.7)

.

Здесь

есть центробежный момент инерции площади сечения; он равен нулю, следовательно, оси y, z являются главными осями инерции сечения.

Пятое условие:

или согласно (8.7)

.

Здесь

осевой момент инерции площади сечения, следовательно,

.

Таким образом, радиус кривизны нейтрального слоя определяется из следующего уравнения:

.

(8.8)

Подставляя это в (8.7), получим расчетную формулу для нормальных напряжений при чистом прямом изгибе призматических балок

.

(8.9)

Максимальные нормальные напряжения определяются из следующего уравнения:

.

(8.10)

При чистом изгибе по одну сторону от нейтрального слоя происходит простое растяжение, по другую – простое сжатие. Следовательно, при чистом изгибе имеет место линейное напряженное состояние:

- в растянутой зоне s₁>0, s₂=s₃=0;

- в сжатой зоне s₃>0, s₁=s₃=0.

Рисунок 8.8.

Эпюры нормальных напряжений (рис 8.7) показывают, что внутренние слои материала нагружаются меньше, чем наружные. Поэтому, проектируя профили балок, стремятся большую часть площади сечения разместить подальше от нейтральной линии. При изгибе в вертикальной плоскости стандартные двутавровые, швеллерные, тавровые профили (рисунок 8.1 в, г, д) дают существенную выгоду в весе.

Если материал балки хуже сопротивляется растяжению, нежели сжатию, то центр тяжести сечения должен располагаться ближе к растянутым волокнам, чтобы величина максимальных растягивающих напряжений была меньше максимальных сжимающих напряжений (рисунок 8.9).

Рисунок 8.9.