- •Бийский технологический институт (филиал)
- •170104.65 – Высокоэнергетические устройства
- •160302.65 - Ракетные двигатели
- •Оглавление
- •Введение
- •Принципы сопротивления материалов Принцип Сен-Венана
- •Принцип независимости действия сил
- •Принцип начальных размеров
- •Внутренние силы. Метод сечений
- •Напряжения и деформации Напряжения
- •Связь компонентов внутренних сил с напряжениями
- •Определение напряжений на наклонных площадках
- •Определение главных напряжений и главных площадок
- •Плоское напряженное состояние
- •Графический способ определения напряжений Круги Мора
- •Графическое определение главных напряжений и положения главных площадок
- •Деформации. Деформированное состояние в точке тела
- •Обобщенный закон Гука для изотропного тела
- •Удельная потенциальная энергия деформации
- •Пример 3.1
- •Растяжение-сжатие Определение внутренних усилий
- •Определение напряжений
- •Определение деформаций и перемещений
- •Определение механических свойств материала при растяжении
- •Диаграммы условных и истинных напряжений
- •Механические характеристики материалов
- •Закон разгрузки и повторного нагружения
- •Пластичные и хрупкие материалы
- •Механические свойства при сжатии
- •Влияние температуры на механические характеристики
- •Ползучесть, последействие и релаксация
- •Длительная прочность
- •Коэффициент запаса прочности. Выбор допускаемых напряжений
- •Основные типы задач при расчете на прочность растянутых (сжатых) стержней
- •Пример 4.1
- •Пример 4.2
- •Пример 4.3
- •Анализ напряженного состояния при растяжении (сжатии)
- •Потенциальная энергия деформации при растяжении
- •Концентрация напряжений
- •Статически неопределимые задачи при растяжении и сжатии
- •Пример 4.4
- •Пример 4.5
- •Пример 4.6
- •Сдвиг (срез) Определение внутренних сил, напряжений и деформаций при сдвиге
- •Анализ напряженного состояния при сдвиге
- •Потенциальная энергия деформации при чистом сдвиге
- •Расчет на прочность при сдвиге
- •Расчет заклепочного соединения
- •Пример 5.1
- •Геометрические характеристики плоских сечений
- •Определения
- •Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей
- •Моменты инерции простейших фигур
- •Вычисление моментов инерции сложных фигур
- •Изменение моментов инерции при повороте осей координат
- •Главные оси и главные моменты инерции
- •Моменты сопротивления площади
- •Пример 6.1
- •Кручение Внутренние силовые факторы при кручении
- •Напряжения и деформации при кручении бруса круглого поперечного сечения
- •Напряженное состояние при кручении
- •Потенциальная энергия деформации при кручении
- •Направление вектора касательного напряжения в контурных точках сечения цилиндрического бруса
- •Кручение тонкостенного бруса замкнутого профиля
- •Кручение бруса прямоугольного сечения
- •Кручение тонкостенного бруса открытого профиля
- •Пример 7.1
- •Расчеты на прочность и жесткость при кручении
- •Пример 7.2
- •Пример 7.3
- •Пример 7.4
- •Расчет цилиндрических винтовых пружин малого шага
- •Статически неопределимые задачи при кручении
- •Плоский прямой поперечный изгиб Основные понятия и определения
- •Плоский прямой изгиб
- •Нормальные напряжения при чистом прямом изгибе
- •Касательные напряжения при плоском прямом изгибе. Формула Журавского
- •Пример 8.1
- •Пример 8.2
- •Расчеты на прочность при поперечном изгибе
- •Потенциальная энергия деформации при изгибе
- •Перемещения при изгибе Дифференциальное уравнение упругой линии балки и его интегрирование
- •Пример 8.4
- •Пример 8.5
- •Пример 8.6
- •Расчет на жесткость при изгибе
- •Определение перемещений с помощью интеграла Мора
- •Пример 8.7
- •Определение перемещений с помощью способа Верещагина
- •Пример 8.9
- •Пример 8.10
- •Определение перемещений с помощью правила «дирижера»
- •Критерии предельного состояния материала при сложном напряженном состоянии. Теории прочности
- •Гипотезы (теории) прочности
- •Критерии разрушения
- •Гипотеза наибольших нормальных напряжений (I теория прочности)
- •Гипотеза наибольших линейных деформаций (II теория прочности)
- •Критерии пластичности
- •Гипотеза наибольших касательных напряжений (III теория прочности)
- •Теория наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения (IV теория прочности)
- •Теория прочности Мора (V теория прочности)
- •Замечания о выборе теории прочности
- •Пример 9.1
- •Пример 9.2
- •Пример 9.3
- •Пример 9.4
- •Расчет на прочность при сложном сопротивлении
- •Косой (двойной) изгиб
- •Пример 10.1
- •Внецентренное растяжение (сжатие)
- •Пример 10.2
- •Пример 10.3
- •Изгиб с кручением
- •Общий случай сложного сопротивления
- •Перемещения в пространственном брусе малой кривизны при произвольной нагрузке
- •Пример 11.1
- •Пример 11.2
- •Статически неопределимые стержневые системы Статическая неопределимость
- •Метод сил. Канонические уравнения
- •Вычисление коэффициентов канонических уравнений
- •Пример 12.1
- •Пример 12.2
- •Определение перемещений в статически неопределимых системах
- •О рациональном выборе основной системы. Использование прямой и обратной симметрии
- •Пример 12.3
- •Пример 12.4
- •Пример 12.5
- •Пример 12.6
- •Устойчивость сжатых стержней. Продольный изгиб Понятие об устойчивости первоначальной формы равновесия
- •Определение критической силы. Формула Эйлера
- •Пределы применимости формулы Эйлера
- •Устойчивость сжатых стержней за пределами упругости. Полная диаграмма критических напряжений
- •Практические способы расчета на продольный изгиб
- •Пример 13.1
- •Расчет на устойчивость с помощью коэффициента снижения основного допускаемого напряжения
- •Рациональные формы сечений сжатых стержней
- •Пример 13.2
- •Расчет элементов конструкций, движущихся с ускорением Внутренние силы, вызванные движением. Силы инерции
- •Расчет поступательно движущихся систем
- •Напряжения в тонкостенном вращающемся кольце
- •Расчет равномерно вращающегося прямого бруса
- •Вращающиеся рамы
- •Расчет на прочность при ударном действии нагрузок Удар. Основные понятия
- •Вертикальный удар
- •Пример 15.1
- •Пример 15.2
- •Пример 15.3
- •Вертикальный удар вследствие внезапной остановки движения
- •Горизонтальный удар
- •Скручивающий удар
Деформации. Деформированное состояние в точке тела
Изменение формы или размеров тела, есть его деформация. Любое тело можно мысленно расчленить на элементарные параллелепипеды. Какова бы ни была деформация тела в целом (растяжение, сжатии, сдвиг, кручение, изгиб), у параллелепипедов могут изменяться только линейные размеры (ребра) и углы наклона граней. Следовательно, в основе любых геометрических изменений тела лежат линейные и угловые деформации. Линейные размеры тела могут меняться в одном или одновременно в двух и трех взаимно перпендикулярных направлениях. В соответствии с этим деформации называют линейными, плоскими и объемными. Линейные деформации характеризуются абсолютными удлинениями (рисунок 3.10)
, |
(3.28) |
и относительными удлинениями
, |
(3.29) |
где lo и l1 - линейные размеры до и после деформации.
Плоские деформации характеризуются абсолютным и относительным сужением площади:
, |
(3.30) |
, |
(3.31) |
где Fo и F1 - размеры площади до и после деформации.
Объемные деформации характеризуются абсолютным и относительным изменением объема:
, |
(3.32) |
, |
(3.33) |
где Vo и V1 - размеры объема до и после деформации.
Линейные деформации, как правило, сопровождаются изменением объема тела.
Угловые деформации характеризуются изменением углов наклона γ=α+β граней элементарного параллелепипеда (рисунок 3.10). В результате угловой деформации происходит взаимное смещение параллельных граней, то есть сдвиг. Относительный сдвиг γ, может служить характеристикой угловой деформации. При угловых деформациях (сдвигах) изменяется только форма тела, а объем остается неизменным.
Линейная деформация связана, в основном, с действием нормальных напряжений, а деформация сдвига определяется, главным образом, касательными напряжениями. Так, при одноосном растяжении бруса изменяется угол между площадками, где действуют касательные напряжения. Углы между поперечными и продольными площадками, где действуют только нормальные напряжения, остаются прямыми.
Если по граням элемента действуют только касательные напряжения, то такой элемент будет испытывать только деформацию сдвига. Такая деформация называется чистым сдвигом (рисунок3.11). Линейное смещение δ одной грани относительно противоположной называется абсолютным сдвигом, а отношение δ к расстоянию между этими гранями h - относительным сдвигом. Отношение δ/h равно тангенсу угла сдвига γ. Вследствие малости угла γ можно принять tgγ≈γ. Подобно тому, как при растяжении имеет линейная зависимость между σ и ε (1.4), при сдвиге наблюдается линейная зависимость между τ и γ, представляющая закон Гука при сдвиге
, |
(3.34) |
где G - модуль упругости при сдвиге или модуль упругости второго рода. Его размерность Н/м2.
Всякая деформация связана со смещением точек тела, но не всякое смещение точек тела есть его деформация. Смещение точек тела без изменения их взаимного расположения есть перемещение тела. Смещение точек тела с изменением их взаимного расположения есть деформация тела.
Рисунок 3.10. Угловые деформации
Рисунок3.11. Деформация чистого сдвига
Вокруг каждой точки тела можно мысленно выделить бесчисленное множество различно ориентированных элементарных параллелепипедов; у каждого из них будут свои линейные и угловые деформации. Совокупность всех линейных и угловых деформаций в точке есть деформированное состояние в этой точке тела.
Относительные деформации в направлении координатных осей x, y, z (1,2,3) обозначаются εx, εy, εz (ε11, ε22, ε33). Угловые деформации характеризуются углами сдвига, представляющими собой изменение первоначально прямого угла между парой ортогональных отрезков, исходящих из данной точки. Углы сдвига в координатных плоскостях обозначаются γxy, γyz, γxz (2ε12, 2ε23, 2ε13). Линейные деформации в направлении координатных осей прямоугольной системы координат и углы сдвига в координатных плоскостях называются компонентами деформаций в данной точке тела. Как компоненты напряжений полностью определяют напряженное состояние в точке тела, так и компоненты деформаций полностью определяют деформированное состояние в точке тела.
Имеет место полная аналогия в математических зависимостях и свойствах теории напряженного и теории деформированного состояний. При этом матрица компонент деформированного состояния образуется из матрицы компонент напряженного состояния (3.7) заменой нормальных напряжений относительными линейными деформациями, а касательных напряжений – сдвигами, с той лишь поправкой, что касательные напряжения заменяются не на γ, а на γ/2:
|
(3.35) |
Относительная деформация по любому направлению, величины и направления главных деформаций, определяются по аналогии с методами рассмотренными выше для напряженного состояния. В изотропном теле направления главных осей напряженного и деформированного состояний совпадают.