- •Приклади розв’язання типових задач.
- •Вправи для аудиторної роботи.
- •Самостійна робота № 1 Властивості визначників. Обчислення визначників за допомогою їх властивостей.
- •Вправи для самостійної роботи
- •Індивідуальні завдання №1
- •Самостійна робота № 2 Ранг матриці та способи його обчислення.
- •Приклади розв’язання типових задач.
- •Самостійна робота № 3 Обернена матриця
- •Матричні рівняння.
- •Приклади розв’язання типових задач.
- •Вправи для аудиторної роботи.
- •Індивідуальні завдання №3
- •Самостійна робота № 4
- •Приклади розв’язання типових задач.
- •Вправи для аудиторної роботи.
- •Індивідуальні завдання № 4
- •Самостійна робота № 5
- •Приклади розв’язання типових задач.
- •Вправи для аудиторної роботи.
- •Індивідуальні завдання № 5
- •Самостійна робота № 6
- •Основні теоретичні відомості
- •Приклади розв’язання типових задач.
- •Вправи для аудиторної роботи.
- •Індивідуальні завдання № 6
- •Самостійна робота № 7 вектори
- •Приклади розв’язання типових задач.
- •Вправи для аудиторної роботи.
- •Самостійна робота № 8
- •Приклади розв’язання типових задач.
- •Вправи для аудиторної роботи.
- •Індивідуальні завдання № 7
- •Індивідуальні завдання №8
- •Основні теоретичні відомості
- •Приклади розв’язання типових задач.
Основні теоретичні відомості
Векторним добутком вектора на вектор називають вектор , який задовольняє такі три умови:
1) модуль вектора обчислюють за формулою:
,
де - кут між векторами і ;
2) вектор перпендикулярний до кожного з векторів і ;
3) вектори , і утворюють праву трійку, тобто якщо дивитися з кінця результуючого вектора , то найкоротший поворот від першого вектора до другого вектора видно проти годинникової стрілки (рис.1).
Рис.1
Позначення векторного добутку: , .
З означення векторного добутку безпосередньо випливають векторні рівності між ортами :
Властивості векторного добутку.
Розглянемо алгебраїчні та геометричні властивості векторного добутку:
1) геометричний зміст векторного добутку: модуль векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на прикладених до спільного початку векторах і (рис.2).
S Рис.2
2) антикомутативність множення:
3) ; ;
4) ;
5) два ненульові вектори колінеарні тоді і тільки тоді, коли векторний добуток цих векторів дорівнює нуль-вектору, тобто
Зокрема,
Зауваження. Якщо відомі координати вершин трикутника АВС, то його площу доцільно шукати за формулою
Векторний добуток векторів, заданих координатами.
Нехай вектори , задані своїми координатами у ПДСК. Тоді векторний добуток знаходять за формулою
або
Мішаний добуток векторів.
Мішаним (векторно-скалярним) добутком трьох векторів , і називають число , рівне скалярному добутку вектора на вектор :
Розглянемо властивості мішаного добутку.
1. Якщо в мішаному добутку поміняти місцями які-небудь два множники, то мішаний добуток змінить знак, наприклад:
.
2. При циклічному переставленні множників мішаний добуток не змінюється.
3. У мішаному добутку знаки векторного і скалярного добутків можна міняти місцями:
.
4. Геометричний зміст мішаного добутку: модуль мішаного добутку чисельно дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на прикладених до спільного початку векторах , і (рис.3), тобто
Рис.3 S
Зауваження. Об’єм піраміди, побудованої на векторах , і , дорівнює 1/6 частини об’єму паралелепіпеда, тобто
5. Якщо , то вектори , і утворюють праву трійку, а якщо , то ліву трійку.
6. Умова компланарності трьох векторів.
Мішаний добуток трьох векторів, заданих координатами.
Нехай вектори , , задані своїми координатами в ПДСК. Знайдемо мішаний добуток цих векторів, використовуючи формули скалярного і векторного добутку векторів, заданих координатами. Маємо
.
Дістали розклад визначника третього порядку за елементами першого рядка. Отже,
Зауваження. Компланарність ненульових векторів , і встановлюють так: якщо визначник
,
то вектори , і – компланарні, якщо визначник відмінний від нуля, то вектори не компланарні.