- •Приклади розв’язання типових задач.
- •Вправи для аудиторної роботи.
- •Самостійна робота № 1 Властивості визначників. Обчислення визначників за допомогою їх властивостей.
- •Вправи для самостійної роботи
- •Індивідуальні завдання №1
- •Самостійна робота № 2 Ранг матриці та способи його обчислення.
- •Приклади розв’язання типових задач.
- •Самостійна робота № 3 Обернена матриця
- •Матричні рівняння.
- •Приклади розв’язання типових задач.
- •Вправи для аудиторної роботи.
- •Індивідуальні завдання №3
- •Самостійна робота № 4
- •Приклади розв’язання типових задач.
- •Вправи для аудиторної роботи.
- •Індивідуальні завдання № 4
- •Самостійна робота № 5
- •Приклади розв’язання типових задач.
- •Вправи для аудиторної роботи.
- •Індивідуальні завдання № 5
- •Самостійна робота № 6
- •Основні теоретичні відомості
- •Приклади розв’язання типових задач.
- •Вправи для аудиторної роботи.
- •Індивідуальні завдання № 6
- •Самостійна робота № 7 вектори
- •Приклади розв’язання типових задач.
- •Вправи для аудиторної роботи.
- •Самостійна робота № 8
- •Приклади розв’язання типових задач.
- •Вправи для аудиторної роботи.
- •Індивідуальні завдання № 7
- •Індивідуальні завдання №8
- •Основні теоретичні відомості
- •Приклади розв’язання типових задач.
Приклади розв’язання типових задач.
Користуючись методом Крамера, розв’язати систему рівнянь:
1.
Розв'язання. Обчислимо визначник системи
.
Оскільки , то задана система рівнянь сумісна і має єдиний розв’язок. Обчислимо визначники
;
;
.
Значить, за формулами Крамера
; ; .
Таким чином, , , - єдиний розв’язок системи.
2.
Розв'язання. Основна матриця системи має вигляд
Використовуючи властивості визначників, обчислюємо визначник основної матриці:
Використаємо тепер формули Крамера:
, , ;
, , .
Зауваження. Визначник можна не обчислювати, оскільки, знаючи та , невідоме можна визначити з будь-якого рівняння системи після підстановки в нього значень та .
Вправи для аудиторної роботи.
Розв’яжіть системи рівнянь методом Крамера:
1) . 2) . 3) .
4) . 5) .
6) . 7)
Індивідуальні завдання № 4
1. Розв’яжіть систему лінійних рівнянь за формулами Крамера:
1) . 2) .
3) . 4) .
5) . 6) .
7) . 8) .
9) . 10) .
11) . 12) .
13) . 14) .
15) . 16) .
17) . 18) .
19) . 20) .
21) . 22) .
23) . 24)
25) .
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Самостійна робота № 5
Розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь матричним методом.
ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ.
Розглянемо систему n лінійних рівнянь з n невідомими:
(1)
Позначимо через А матрицю, складену із коефіцієнтів при невідомих (так звану основну матрицю системи); Х – матрицю-стовпець із невідомих; В – матрицю-стовпець із вільних елементів, тобто
, , . (2)
Тоді систему рівнянь (1) можна переписати у вигляді матричного рівняння: . Його розв’язок Х=А-1В називається матричним розв’язком системи лінійних рівнянь з n невідомими. Знаходження матричного розв’язку називається матричним способом розв’язування системи лінійних рівнянь.
Приклади розв’язання типових задач.
1. Записати і розв’язати в матричній формі систему рівнянь
Розв'язання. Позначимо через , , .
Система лінійних рівнянь запишеться у матричній формі . Матричний розв’язок системи буде Х=А-1В.
Для знаходження оберненої матриці А-1 обчислимо визначник
Оскільки , то для матриці А існує обернена А-1 , а значить, можна знайти єдиний розв’язок вихідної системи.
Знаходимо алгебраїчні доповнення:
, ,
, ,
, ,
, ,
.
Отже, . Транспонуємо , тоді .
Обернена матриця має вигляд:
.
Перевіряємо:
=
= .
Обернену матрицю знайдено правильно.
Знаходимо розв’язок заданої системи:
Х=А-1В= .
Розв’язок системи лінійних рівнянь: , , .