- •Приклади розв’язання типових задач.
- •Вправи для аудиторної роботи.
- •Самостійна робота № 1 Властивості визначників. Обчислення визначників за допомогою їх властивостей.
- •Вправи для самостійної роботи
- •Індивідуальні завдання №1
- •Самостійна робота № 2 Ранг матриці та способи його обчислення.
- •Приклади розв’язання типових задач.
- •Самостійна робота № 3 Обернена матриця
- •Матричні рівняння.
- •Приклади розв’язання типових задач.
- •Вправи для аудиторної роботи.
- •Індивідуальні завдання №3
- •Самостійна робота № 4
- •Приклади розв’язання типових задач.
- •Вправи для аудиторної роботи.
- •Індивідуальні завдання № 4
- •Самостійна робота № 5
- •Приклади розв’язання типових задач.
- •Вправи для аудиторної роботи.
- •Індивідуальні завдання № 5
- •Самостійна робота № 6
- •Основні теоретичні відомості
- •Приклади розв’язання типових задач.
- •Вправи для аудиторної роботи.
- •Індивідуальні завдання № 6
- •Самостійна робота № 7 вектори
- •Приклади розв’язання типових задач.
- •Вправи для аудиторної роботи.
- •Самостійна робота № 8
- •Приклади розв’язання типових задач.
- •Вправи для аудиторної роботи.
- •Індивідуальні завдання № 7
- •Індивідуальні завдання №8
- •Основні теоретичні відомості
- •Приклади розв’язання типових задач.
Приклади розв’язання типових задач.
1. Вектори і утворюють кут . Знаючи, що , , обчисліть: а) ; б) .
Розв'язання.
а)
Оскільки правильні рівності
, ,
то ;
б) скориставшись формулою (2) , дістанемо
.
2. Дано вектори і . Знайдіть:
а) скалярний добуток ; б) кут між векторами та .
Розв'язання.
а) ,
,
;
б) , ,
,
звідси .
3. Дано вектори , , . Знайдіть вектор , який задовольняє рівності: , та .
Розв'язання. Нехай , тоді умова рівносильна рівнянню . Аналогічно дістаємо ще два рівняння
та . Розв’язавши систему
дістанемо значення : , , .
Відповідь: .
4. Точки , , - вершини трикутника АВС. Знайдіть кут у трикутнику при вершині В і проекцію вектора на вектор .
Розв'язання. Знайдемо координати векторів і , що збігаються з відповідними сторонами трикутника:
, .
Косинус кута між векторами і знаходимо за формулою
,
звідки . Отже, .
Проекцію вектора на вектор знайдемо за формулою:
.
5. Нехай точки , , , - послідовні вершини чотирикутника АВСД. При якому значенні а діагоналі чотирикутника взаємно перпендикулярні?
Розв'язання. Утворимо вектори :
, .
Діагоналі чотирикутника будуть взаємно перпендикулярні тоді, коли скалярний добуток , тобто
,
звідки дістанемо а=1,5.
Вправи для аудиторної роботи.
1. Вектори і утворюють кут . Знаючи, що , , обчисліть: а) ; б) .
2. Дано вектори і . Знайдіть:
а) скалярний добуток ;
б) кут між векторами та ;
в) проекцію вектора на вектор .
3. Дано вектори , , . Знайдіть вектор , який задовольняє рівності: , та .
Індивідуальні завдання № 7
7.1. Дано точки та . Знайдіть:
а) координати, довжину, напрямні косинуси та орт вектора ;
б) координати точки М, якщо ;
в) координати точки , якщо
1) , , , .
2) , , , .
3) , , , .
4) , , , .
5) , , , .
6) , , , .
7) , , , .
8) , , , .
9) , , , .
10) , , , .
11) , , , .
12) , , , .
13) , , , .
14) , , , .
15) , , , .
16) , , , .
17) , , , .
18) , , , .
19) , , , .
20) , , , .
21) , , , .
22) , , , .
23) , , , .
24) , , , .
25) , , , .
7.2. Чи колінеарні вектори і , побудовані на векторах і ?
1) , , , .
2) , , , .
3) , , , .
4) , , , .
5) , , , .
6) , , , .
7) , , , .
8) , , , .
9) , , , .
10) , , , .
11) , , , .
12) , , , .
13) , , , .
14) , , , .
15) , , , .
16) , , , .
17) , , , .
18) , , , .
19) , , , .
20) , , , .
21) , , , .
22) , , , .
23) , , , .
24) , , , .
25) , , , .