Приклади розв’язання типових задач.
1
.
Знайдіть ранг матриці:
Розв’язання. Виділений у матриці мінор другого порядку
.
Обвідними для нього мінорами третього порядку є:
і
Обидва мінори третього порядку рівні нулю, а мінор другого порядку відмінний від нуля, отже r(А)=2.
2.
Знайдіть ранг матриці:
.
Розв’язання. Виконавши елементарні перетворення, дістанемо
Визначник третього порядку, складений з елементів, що стоять на перетині перших трьох рядків і стовпців останньої матриці, не дорівнює нулю, а всі мінори четвертого порядку рівні нулю. Отже, r(А)=3.
Самостійна робота № 3 Обернена матриця
Означення. Матриця А-1 називається оберненою до матриці А, якщо виконуються рівності
-
АА-1 = А-1 А = E
(1)
Ці рівності означають, що матриці А та А-1 комутують і їх добуток є одиничною матрицею.
Не кожна матриця має обернену матрицю.
Матриця А має обернену матрицю А-1 лише при виконанні умов:
1. Матриця А - квадратна;
2. Визначник |А| матриці А не дорівнює нулю.
Якщо обернена матриця А-1 до матриці А існує, то її можна знаходити за формулою:
|
(2) |
де Аij - алгебраїчні доповнення елементів аij- матриці А, причому алгебраїчні доповнення до елементів і-го рядка матриці А розташовані у і-тому стовпці.
Приклад 1. Знайти обернені матриці до матриць
Розв'язання. Матриця С- не квадратна, тому не існує оберненої до неї матриці.
Матриця В - квадратна, але її визначник |В| = -3•5 -(-1)• 15 = -15 + 15 = 0, тому матриця В також не має оберненої матриці.
Матриця А- квадратна, її визначник за правилом Саріуса
Отже, матриця А-1 існує. Будемо шукати матрицю А-1 за формулою (2).
Спочатку знайдемо алгебраїчні доповнення до елементів матриці А.
Відмітимо, що алгебраїчні доповнення до елементів і-го рядка ми одержали в і-тому стовпці, що спрощує їх підстановку до формули (2). Одержали обернену матрицю вигляду:
Зауваження 1. Перевірку можна здійснити так: якщо добуток А-1 А=Е, то матриця А-1 знайдена вірно.
Зауваження
2,
Якщо матриця А квадратна другого
,
визначник якої |А|≠0, то обернену до неї
матрицю А-1
знаходять за формулою:
(3)
тобто
елементи головної діагоналі матриці А
треба поміняти місцями, елементи
неголовної діагоналі помножити на (-1)
і одержану матрицю помножити на
.
Приклад 2. Знайти обернену матрицю до матриці
Розв'язання. Задана квадратна матриця другого порядку, її визначник
тому для знаходження оберненої матриці можна застосувати формулу (3) і одержати
Матричні рівняння.
Нехай потрібно знайти матрицю Х, що задовольняє матричне рівняння ХА=В, де А – не вироджена матриця.
Помноживши справа обидві частини рівняння на обернену матрицю А-1, дістанемо:
(ХА)А-1=ВА-1, Х(АА-1)=ВА-1, ХЕ=ВА-1, або Х=ВА-1
Розв’язок матричного рівняння АХ=В знаходять за формулою Х=А-1В.