3.2. Финансовая рента (аннуитет)
Важным частным случаем потока платежей является финансовая рента или просто рента (rent), называемая иногда также аннуитетом (annuity).
Под финансовой рентой понимается поток платежей, у которого все выплаты одного знака и производятся через равные промежутки времени.
Примером рент являются: квартирная плата, погашение кредита, пенсии, регулярные выплаты процентов, ипотека, страховые выплаты и т. д. Первоначально рассматривались лишь ежегодные выплаты (anno-год) отсюда название аннуитет (annuity).
Интервал времени между выплатами называется периодом ренты (rent period, payment period); размер отдельного платежа – членом ренты (rent). Сроком ренты (temp) называется время от начала первого периода ренты до конца последнего периода.
Если выплаты производятся в конце периода, то рента называется рента постнумерандо или обыкновенная рента (аннуитет постнумерандо или обыкновенный аннуитет, ordinary annuity).
Если выплаты производятся в начале периода, то рента называется рента пренумерандо или авансированная рента (аннуитет пренумерандо или авансированный аннуитет, annuity due). Иногда выплаты ренты производятся в середине периода, например пенсии.
Для безусловной ренты (annuity certain) заранее оговариваются моменты всех выплат – от первой до последней выплаты. Для условной ренты (contingent annuity) даты первой и последней выплаты зависят от какого-либо случайного события. Примером такой ренты являются страховые выплаты или пенсии (life annuity). Для описания и оценки условных рент создана бурно развивающаяся в настоящее время страховая (актуарная) математика.
Существуют и бессрочные (вечные) ренты. Пример такой ренты это облигации Британского казначейства (Х1Х век), выплаты по ним производятся два раза в год по 2,5 % годовых.
Простая рента означает выплаты одной суммы, сложная рента предполагает выплаты переменных сумм.
Проведем расчет простой ренты постнумерандо (см. рис. 3.4).
n
Рис. 3.4.
Если член ренты – с, а процентная ставка – r, то современная стоимость ренты будет равна:
(3.4)
Суммируя
геометрическую прогрессию, по формуле
получим:
Окончательно 
. (3.5)
или 
.
Наращенная сумма S(n) согласно (3.2) будет равна:
. (3.6)
Расчет простой ренты пренумеранто сводится к следующему потоку платежей (см. рис. 3.5).
Рис. 3.5.
Современная стоимость ренты равна:
.
Суммируя геометрическую прогрессию аналогично предыдущему, получим:
Или окончательно
. (3.7)
Для наращенной суммы получим:
. (3.8)
Сравнивая (3.7) и (3.8) с (3.5) и (3.6), убеждаемся, что рента пренумерандо дороже ренты постнумерандо. Точнее справедлива формула:
Sпренумерандо=(1+r)Sпостнумерандо.
Для величины
, (3.9)
называемой коэффициентом наращивания, существуют специальные таблицы. Однако в настоящее время его вычисление не составляет труда. Используя коэффициент наращивания, формулы (3.5) и (3.8) запишутся:
-
постнумерандо
пренумерандо
S(0)
S(n)
