2. Финансовые вычисления

В финансовом анализе огромную роль играет время. Эта роль велика даже при малой инфляции, а при большой инфляции она является решающей. Все знают на собственном опыте, что 100 тыс. руб. сегодня и через месяц могут оказаться различными деньгами. Например, при запланированной инфляции 20 % приведенная выше сумма в 100 тыс. руб., если держать ее дома, через год превратится в 100(1-0,2)=80 тыс. руб. Второй пример, предположим, что вам должны вернуть долг в 100 тыс. руб. и рассматриваются два варианта возврата денег. В первом варианте предлагают его отдать по частям: 50 тыс. руб. через полгода и остальные 50 тыс. руб. через год. Во втором варианте предполагается возврат всей суммы сразу через год. Очевидно первый вариант для кредитора лучше.

С другой стороны, если у вас имеются накопления в рублях, долларах, евро, иенах, юанях и т. д. или в ценных бумагах, то в каждый момент времени эти накопления имеют разную курсовую стоимость. Последнее особенно ощутимо в условиях кризиса.

В связи с этим в финансовых вычислениях чрезвычайно важно учитывать время. Поэтому, в частности, в экономических расчетах денежные суммы нельзя просто так складывать, без учета зависимости капитала от времени. Ниже будут приведены методы, позволяющие учесть зависимость капитала от времени в финансовых вычислениях.

Ценная бумага удостоверяет определенную финансовую операцию (сделку). Не конкретизируя вид ценной бумаги, изложим основные математические методы, позволяющие оценить выгодность и эффективность данной операции (сделки). В примерах и задачах будут приведены варианты расчетов эффективности для основных видов ценных бумаг.

2.1. Основные понятия

Простейшей финансовой операцией является однократное предоставление в долг некоторой суммы. В этой сделке присутствуют два лица – кредитор и дебитор. Эта финансовая операция характеризуется следующими временными параметрами и денежными величинами.

Пусть функция S(t) описывает зависимость капитала S от времени t. Простейшая финансовая сделка сводится к однократному предоставлению в долг некоторой суммы S(t) с условием возврата суммы S(t+T) через время Т.

Для оценки эффективности операции используются два показателя:

• относительное приращение суммы или капитала (процентная ставка, процент, ставка процента, рост, норма прибыли, доходность, интерес, interest rate, return)

, (2.1)

отсюда

; (2.2)

• относительная скидка или относительное уменьшение конечного капитала (учетная ставка, дисконт, discount rate)

, (2.3)

отсюда

, (2.4)

где S(t) – капитал в начальный момент t (начальный вклад);

S(t+T) – капитал в конечный момент t+T (конечная сумма).

Таким образом, в любой финансовой операции присутствуют три величины, две из которых заданы, а одна неизвестна. В соответствии с этим возникают различные экономические задачи, которые будут рассмотрены ниже. Наличие двух показателей эффективности процентной ставки r и дисконта d связано с тем, что процесс наращивания и процесс дисконтирования отличаются направлением потока денежных средств.

НАСТОЯЩЕЕ

БУДУЩЕЕ

Исходная сумма

Процентная ставка

Возвращаемая сумма

Ожидаемая сумма

Дисконт

Приведенная сумма

Рис. 2.1

Если время сделки Т постоянно, то Т называют базовым периодом, а r_T – часто называют процентной ставкой и d_T – дисконтом. Очевидно, процентная ставка и дисконт не являются независимыми показателями эффективности сделки. Они связаны соотношениями:

. (2.5)

Вместо дисконта иногда используют математический дисконт фактор, равный

. (2.6)

Очевидно

. (2.7)

Рост и дисконт являются безразмерными величинами и обычно выражают в процентах.

Пример 1.

Ссуда в размере 2 млн руб. дана на 1 год с условием возврата 4 млн руб. В этом случае процентная ставка равна:

,

дисконт равен .

Пример 2.

Кредит выдан на 5 млн руб. с кредитной ставкой 50 % годовых. Тогда, через год следует вернуть:

млн руб.

Пример 3.

Кредит выдан с условием возврата через год 5 млн руб. и дисконтом 30 %. Тогда дебитор получит:

млн руб.

При этом дисконт фактор равен .

Задача 1.

Предприниматель обратился в банк с просьбой о предоставлении ссуды в размере 1млн руб. на срок 1 год. Банк выделил ему эту ссуду с годовой учетной ставкой 20 %. Определить сумму, возвращаемую предпринимателем банку через год.

Ответ.

1,25 млн руб.

Для удобства сравнения финансовых операций процентные ставки, дисконт приводят к базовому периоду – обычно году. Отсюда возникает задача: имея процентные ставки и дисконт за базовый период Т, вычислить соответствующие величины за фактический период действия сделки.

Правила начисления процентов оговариваются при заключении сделки и сводятся к схемам простых процентов (simple interest), сложных процентов (compound interest) и смешанных процентов. Суть данных схем заключается в следующем.