- •Инвестиции Учебное пособие
- •Печатается по решению редакционно-издательского совета сзагс
- •Содержание
- •Раздел I. 6
- •Раздел II. Лекции 8
- •Раздел IV. Планы практических занятий 185
- •Раздел V. Словарь основных понятий 196
- •Раздел VI. Примерные темы курсовых работ 203
- •Раздел VII. Примерный перечень вопросов к итоговой аттестации 205
- •Раздел I.
- •Выписка из образовательного стандарта
- •Инвестиции
- •Рынок ценных бумаг
- •Раздел II. Лекции Введение
- •1. Товары финансового рынка
- •2. Финансовые вычисления
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Кредитование
- •Пример 9.
- •Решение.
- •Решение.
- •2.3. Дисконтирование
- •2.4. Эффективная ставка
- •2.5. Непрерывная ставка (сила роста) и непрерывный дисконт
- •3. Потоки платежей
- •3.1. Однонаправленные потоки платежей
- •3.2. Финансовая рента (аннуитет)
- •Непрерывная рента.
- •3.3. Двусторонние потоки платежей. Эффективная ставка операции
- •3.4. Эффективная ставка кредита
- •Парадокс эффективной процентной ставки.
- •3.5 Финансовые вычисления по ценным бумагам
- •Фундаментальный и технический анализ ценных бумаг.
- •Оценка облигаций с нулевым купоном
- •Оценка облигации с фиксированной ставкой
- •Оценка бессрочных облигаций с постоянным доходом
- •Оценка обыкновенных акций
- •Формула Гордона.
- •Формула Модильяни
- •3.6. Вероятностные характеристики платежей
- •Оценка эффективности инвестиционного проекта
- •4.1 Критерии оценки эффективности инвестиционного проекта
- •Чистое современное значение npv (net present value).
- •Срок (время) окупаемости инвестиционного проекта (discount payback period, dpp).
- •Норма рентабельности, индекс доходности инвестиционного проекта (profitability index, pi).
- •4.2. Чистое современное значение npv (net present value)
- •4.3. Эффективная ставка, внутренняя эффективность, внутренняя норма доходности (internal rate of return, irr)
- •4.4. Срок (время) окупаемости инвестиционного проекта (discount payback period, dpp)
- •4.5. Норма рентабельности, индекс доходности инвестиционного проекта (profitability index, pi)
- •5. Моделирование рисков на рынке ценных бумаг
- •5.1. Финансовый риск
- •5.2. Неравенство Чебышева
- •Теорема Чебышева
- •5.3. Хеджирование
- •6. Портфель ценных бумаг
- •6.1. Характеристики портфеля ценных бумаг
- •6.2. Оценка доходности и риска портфеля ценных бумаг
- •6.3. Портфель из независимых ценных бумаг. Диверсификация портфеля
- •6.4. Портфель из коррелированных ценных бумаг
- •6.5. Портфель из антикоррелированных ценных бумаг
- •7. Оптимальный портфель при рискованных вложениях
- •Задача об осторожном инвесторе.
- •Портфель из статистически независимых ценных бумаг с минимальным риском
- •8. Оптимальный портфель ценных бумаг при безрисковых и рискованных вложениях (j. Tobin)
- •9. Статистика фондового рынка
- •9.1. Прямой статистический метод
- •9.2. Метод ведущих факторов
- •Заключение
- •Приложение Элементы теории вероятностей и математической статистики
- •Ковариация
- •Линейная регрессия. Парная линейная регрессия
- •Множественный регрессионный анализ
- •Раздел ш. Список рекомендуемой литературы
- •Задача 11.
- •Задача 12.
- •1.3. Дисконтирование
- •1.4. Эффективная ставка
- •2.4.Эффективная ставка операции
- •Занятие № 3. Тема «финансовые вычисления по ценным бумагам» Оценка облигаций с нулевым купоном
- •Занятие № 4. Тема «оценка эффективности инвестиционного проекта»
- •Занятие № 5. Тема «финансовый риск»
- •3.2. Неравенство Чебышева
- •3.3. Хеджирование
- •Занятие № 6. Тема «портфель ценных бумаг». «построение оптимального портфеля ценных бумаг при рискованных вложениях»
- •Раздел V. Словарь основных понятий
- •Раздел VI. Примерные темы курсовых работ
- •Финансовые вычисления по ценным бумагам.
- •Хеджирование.
- •Оценка доходности и риска портфеля ценных бумаг.
- •Раздел VII. Примерный перечень вопросов к итоговой аттестации
- •Товары финансового рынка.
- •Эффективная ставка кредита.
- •Хеджирование.
- •Клоков Владимир Иванович инвестиции
6. Портфель ценных бумаг
6.1. Характеристики портфеля ценных бумаг
Для уменьшения риска инвестор покупает на рынке не одну высокодоходную, но ненадежную ценную бумагу, а несколько ценных бумаг различного типа.
При этом инвестор следует пословице: «Никогда не клади все яйца в одну корзину». Дадим теоретическое обоснование данного принципа.
Все последующие рассуждения справедливы для стационарно развивающейся экономики, либо для промежутков времени ее стационарного развития. В нестационарном случае, например, в случае катастрофического кризисного развития экономики данные ниже математические модели не применимы.
Портфелем ценных бумаг инвестора называется совокупность некоторого количества ценных бумаг различного типа – векселей, акций нескольких корпораций, контрактов, опционов и т. д.
Предположение о стационарности позволяет описывать рынок ценных бумаг случайными величинами. В частности, значение эффективности Ri операции с i-ой ценной бумагой можно считать случайной величиной.
Пусть портфель инвестора содержит n ценных бумаг с эффективностями R1, R2, , Rn. Предположим, что известны некоторые характеристики эффективностей:
Математическое ожидание случайной величины Ri, т. е. средняя ожидаемая эффективность i-ой бумаги.
mi=E(Ri)
Дисперсия (вариация) случайной величины Ri, оценивающая степень отклонения случайной величины Ri от ее математического ожидания:
.
Дисперсия оценивает надежность ценной бумаги и является мерой финансового риска покупки i-ой ценной бумаги.
Среднеквадратическое (стандартное) отклонение 2 имеет ту же размерность, что и mi и Ri и равно:
.
Ковариация двух случайных величин Ri и Rj равна:
.
Она определяет связь между случайными величинами Ri и Rj, т. е. дает количественную оценку связи эффективности i-ой и j-ой ценной бумаги.
Ковариация двух случайных величин имеет размерность равную произведению размерностей и . Если разделить ковариацию на среднеквадратические отклонения случайных величин и , то получится безразмерная величина - коэффициент корреляции.
Коэффициент корреляции kij случайных величин Ri и Rj выражается через ковариацию следующим образом:
или .
Коэффициент корреляции является безразмерной величиной и изменяется в пределах от –1 до 1: .
При kij=0 статистической связи между эффективностями i-ой и j-ой ценной бумагой нет.
При kij=1 эффективности i-ой и j-ой ценной бумаги коррелированны. Величина Rj линейно зависит от Ri, точнее:
,
где , – некоторые числа, причем >0.
В этом случае Ri и Rj изменяются синхронно: росту Ri соответствует рост Rj, уменьшению Ri соответствует уменьшение Rj.
При эффективности Ri и Rj антикоррелированы. Они линейно связаны, т. е.:
,
где , – некоторые числа, причем >0.
Обратим внимание на то, что при корреляции коэффициент при Ri в линейной связи положителен, а при антикорреляции этот коэффициент отрицателен.
Тогда Ri и Rj изменяются асинхронно или находятся в противофазе, т. е. увеличению Ri соответствует уменьшение Rj и, наоборот, уменьшению Ri соответствует увеличение Rj.
Описанных исходных данных достаточно для оценки рискованности портфеля.
Приведем конкретные примеры некоррелированных (независимых), коррелированных и антикоррелированных ценных бумаг (см. рис 6.1.-6.6.).
На рис 6.1. представлено облако измерений эффективностей R1, R2 двух независимых ценных бумаг. Центр масс этого облака имеет координаты (m1 , m2), где m1=12,28 - математическое ожидание эффективности первой ценной бумаги, m2=14,95 - математическое ожидание эффективности второй ценной бумаги. Средний доход второй ценной бумаги m2 больше чем первой m1 (m1 < m2). Разброс статистических данных вдоль оси OX определяется дисперсией 12=2,75, вдоль оси OY дисперсией 22=17,31. Вдоль оси OY разброс больше, чем вдоль оси OY (22>12). Это означает, что вторая бумага будет более рискованной, но вторая ценная бумага будет и более доходной. Форма облака измерений характеризуется коэффициентом корреляции. Кругообразной форме облака измерений соответствует коэффициент корреляции близкий к нулю. В нашем случае коэффициент корреляции равен k12=-0,3211 и облако измерений близко к кругообразной форме.
На рис 6.2. представлено облако измерений эффективностей R1, R2 двух коррелированных ценных бумаг. Для данного облака измерений коэффициент корреляции равен k12=0,9947. Он близок к единице и облако измерений вырождается в отрезок возрастающей прямой .
На рис 6.3. представлено облако измерений эффективностей R1, R2 двух антикоррелированных ценных бумаг. Для R1 и R2 коэффициент корреляции равен k12=-0,9969. Он близок к -1 и облако измерений вырождается в отрезок убывающей прямой .
На рис 6.4.-6.6. представлены временные ряды эффективностей R1, R2 двух ценных бумаг.
Если коэффициент корреляции близок к нулю, то временные ряды эффективностей R1, R2 двух ценных бумаг ведут себя независимо друг от друга (см. рис. 6.4.).
Если коэффициент корреляции близок к 1, то временной ряд R2 получается из ряда R1 (в соответствии с формулой ) в результате сдвига графика R1 по оси OY на и изменении масштаба по оси OY: при растяжения графика вдоль OY, при сжатия графика вдоль OY (см. рис. 6.5.).
Если коэффициент корреляции близок к -1, то временной ряд R2 получается из ряда R1 (в соответствии с формулой ) в результате сдвига по оси OY на , зеркального отражения относительно оси ОХ и изменении масштаба по оси OY: при растяжения графика вдоль OY , при сжатия графика вдоль OY (см. рис. 6.6.).
Всякой ценной бумаге может быть поставлена в соответствие пара чисел (, m), где оценивает риск, m – эффективность ценной бумаги.
Удобно рассматривать пары чисел (i, mi), соответствующие различным ценным бумагам, как точки на плоскости «риск – эффективность» (см. рис. 6.7).
Рис. 6.7.
Сравнивая ценные бумаги 1, 3, 4, очевидно следует выбрать бумагу 1, так как для нее при одной и той же эффективности риск меньше. Сравнивая 2 и 3 (или 4 и 5), очевидно следует выбрать 2 (или 5), так как при одном и том же риске эффективность больше.
Без дополнительной информации невозможно сделать выбор только между 1 и 2 лежащими на одной прямой, проходящей через начало координат. Действительно, в этом случае увеличение риска приводит к пропорциональному увеличению эффективности.