4.5. Норма рентабельности, индекс доходности инвестиционного проекта (profitability index, pi)

Зафиксируем процентную ставку r и время t для инвестиционного проекта.

Нормой рентабельности (индексом доходности) инвестиционного проекта (profitability index, PI) называется число H, равное отношению современной стоимости потока доходов к современной стоимости потока инвестиций в проект:

, (4.6)

где - инвестиции в моменты времени j=1,2,…m,

- доходы от инвестиций в моменты времени i=1,2,…n,

r- ставка дисконтирования.

Таким образом, в числителе формулы для вычисления нормы рентабельности (индекса доходности) стоит сумма дисконтированных доходов, а в знаменателе сумма дисконтированных инвестиций.

Экономический смысл нормы рентабельности (индекса доходности) инвестиционного проекта – это количество рублей заработанных на один рубль инвестиций.

Таким образом, решение о приемлемости инвестиционного проекта принимается по следующему решающему правилу:

● Если норма рентабельности (индекс доходности) инвестиционного проекта больше единицы H>1, то доходы от инвестиционного проекта превосходят расходы и проект приемлем. При этом NPV>0.

● В противном случае, если норма рентабельности (индекс доходности) инвестиционного проекта меньше единицы H<1, то доходы от инвестиционного проекта меньше расходов и проект неприемлем. При этом NPV<0.

● Если норма рентабельности (индекс доходности) инвестиционного проекта равна единице H=1, то доходы от инвестиционного проекта равны расходам. Это критический случай. При этом NPV=0.

Определение числителя и знаменателя в формуле для вычисления нормы рентабельности (индекса доходности) инвестиционного проекта возможен с помощью функции Excel расчета чистого современного значения NPV

ЧИСТНЗ (процентная ставка, значения, даты).

Пример 55.

Инвестиционный проект задан двусторонним потоком платежей. Соответствующий поток приведен в двух первых столбцах таблицы 4.2. Процентная ставка равна 10 %. В третьем столбце представлены инвестиции, в четвертом столбце доходы от инвестиций, в пятом столбце дисконтированная сумма доходов от инвестиционного проекта. В шестом столбце и на рис. 4.4 представлена зависимость нормы рентабельности (индекса доходности) H(t) от времени t действия инвестиционного проекта. Норма рентабельности H(t) равна отношению дисконтированной суммы доходов к дисконтированной сумме инвестиций, равной 236,328033 млн руб.

Таблица 4.2

Расчет Н нормы рентабельности (индекса доходности) инвестиционного проекта

	процентная ставка r=	10,00%
Даты	Значения (млн. руб.)	инвестиции C-	доходы C+	дисконт. сумма доходов	Н
01.01.2008	-100	100,0	0
01.01.2009	-150	150,0	0
01.01.2010	0		0	0,00	0,000
01.01.2011	60		60	45,07	0,191
01.01.2012	60		60	86,04	0,364
01.01.2013	60		60	123,27	0,522
01.01.2014	60		60	157,12	0,665
01.01.2015	60		60	187,90	0,795
01.01.2016	60		60	215,87	0,913
01.01.2017	60		60	241,30	1,021
01.01.2018	60		60	264,41	1,119
01.01.2019	60		60	285,43	1,208
01.01.2020	60		60	304,53	1,289

На рис 4.5 и в шестом столбце таблицы представлена зависимость нормы рентабельности H(t) от времени t при процентной ставке r=10 %. В момент времени 01.01.2017 она составляет Н=1,021. Это значение превышает единицу то, есть на 1 руб. инвестиций получено 1,021 руб. дохода, что соответствует времени окупаемости инвестиционного проекта.

Пример56. Оценка риска инвестиционного проекта.

Инвестиционный проект задан двусторонним потоком платежей. Соответствующий поток приведен в двух первых столбцах таблицы 4.3. Процентная ставка является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием a = 10 % и среднеквадратическим отклонением σ = 3 %. Найти вероятность окупаемости инвестиционного проекта на момент времени t.

Решение.

Процентная ставка распределена по нормальному закону. Функция распределения нормально распределенной случайной величины с математическим

ожиданием a и среднеквадратическим отклонением σ имеет вид:

,

где для расчета вероятности P(r < x) используется нормированная нормальная функцию распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1 и заданная интегралом Лапласа:

.

Для перехода к нормированной нормальной функции распределения центрируем случайную величину по формуле . Для вычисления функции Лапласа можно использовать таблицы или функцию НОРМСТРАСП( ) из Excel.

Согласно п. 4.2 чистое современное значение NPV зависит от процентной ставки r и времени t , то есть NPV = NPV(r, t ). Фиксируем время t. Если процентная ставка r является случайной величиной, то и современное значение NPV будет случайной величиной. Окупаемость проекта наступает, когда современное значение NPV становится больше нуля, т. е. окупаемости проекта соответствует событие NPV( r, t )>0. Найдем вероятность этого события:

,

где IRR – эффективная ставка проекта на момент t. Согласно п. 4.3 она является решением уравнения NPV(t, IRR) = 0.

Тогда, используя для вычисления интеграла Лапласа функцию НОРМСТРАСП( ) и функцию ЧИСТВНДОХ( ) для вычисления эффективной ставки IRR, найдем вероятность того, что инвестиционный проект окупится к моменту t. Результаты расчетов приведены в таблице 4.3 и проиллюстрированы рис 4.6.

Таблица 4.3.

Зависимость вероятности окупаемости от длительности проекта

Даты	Суммы	Эффективная ставка IRR	Вероятность окупаемости
01.01.2008	-100
01.01.2009	-150
01.01.2010	0
01.01.2011	60	-45,78%	0,000000
01.01.2012	60	-22,34%	0,000000
01.01.2013	60	-9,15%	0,000000
01.01.2014	60	-1,04%	0,000117
01.01.2015	60	4,26%	0,027946
01.01.2016	60	7,89%	0,240954
01.01.2017	60	10,46%	0,560307
01.01.2018	60	12,32%	0,780335
01.01.2019	60	13,71%	0,891625
01.01.2020	60	14,75%	0,943478
01.01.2021	60	15,56%	0,968051
01.01.2022	60	16,18%	0,980370

Таким образом, если процентная ставка является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием a = 10 % и среднеквадратическим отклонением σ = 3 %, то вероятность окупаемости проекта на 2017 год равна 0,56 на 2018 и 2019 годы она возрастет и будет равна соответственно 0,78; 0,89.