7. Оптимальный портфель при рискованных вложениях

(H. MARKOWITZ)

Можно составить две задачи оптимизации портфеля:

1. распределить средства, выделяемые на покупку ценных бумаг так, чтобы при фиксированной эффективности обеспечить минимальный риск;

2. распределить средства, выделяемые на покупку ценных бумаг так, чтобы при фиксированном риске обеспечить максимальное значение эффективности.

Математическая постановка задач следующая.

Задача 1.

Минимизация риска.

Найти структуру портфеля ценных бумаг x₁, x₂, , x_n, удовлетворяющие линейным ограничениям:

x₁+x₂++x_n=1 (уравнение баланса); (7.1)

x₁m₁+x₂m₂++x_nm_n=m_s (фиксация эффективности) (7.2)

и минимизирующие квадратичную функцию риска

. (7.3)

Задача 2.

Максимизация эффективности.

Найти структуру портфеля ценных бумаг x₁, x₂, , x_n, удовлетворяющие линейному ограничению:

x₁+x₂++x_n=1 (уравнение баланса); (7.1)

и квадратичному ограничению:

(фиксация риска) (7.2)

и максимизирующие линейную функцию дохода:

m=x₁m₁+x₂m₂++x_nm_n (7.3)

Приведенные задачи двойственны и приводят к одному и тому же решению.

Решение этих задач может содержать некоторые значения x_k<0. Это означает, что при формировании оптимального портфеля для покупки k-ой ценной бумаги следует взять в долг сумму – x_k. Если портфель ценных бумаг уже существует, то следует продать пакет из к-ых ценных на сумму – x_k.

Если в долг брать нельзя, то дополнительно к ограничениям равенствам в задаче оптимизации добавляются ограничения неравенства:

. (7.4)

Рассмотрим сначала задачу построения оптимального портфеля инвестора без ограничения неотрицательности переменных.

Если в задаче оптимизации портфеля на переменные не наложено условие неотрицательности, то задача имеет точное аналитическое решение.

Воспользуемся функцией Лагранжа.

, (7.5)

где

m_s – требуемое значение эффективности портфеля;

,  – множители Лагранжа, которые будут найдены позже из линейных ограничений.

Приравнивая частные производные , получим систему линейных уравнений для определения x₁, x₂, , x_n:

(7.6)

Далее удобно использовать матричные обозначения. Тогда (7.6) можно записать в виде:

2Vx=I+m, (7.7)

где V – симметричная знакоположительная матрица ковариации размерности nn, равная:

,

x – вектор-столбец неизвестных n1

I, m – векторы-столбцы n1 вида

.

Воспользовавшись обратной матрицей V^–1, получим для вектора-столбца неизвестных формулу:

. (7.8)

Осталось определить множители Лагранжа из линейных ограничений, записываемых в матричном виде:

I^*x=1, m^*x=m_s, (7.9)

где

m^*, I^* – векторы строки, получаемые из векторов-столбцов с помощью операции транспортирования, обозначаемой *.

Подставляя (7.8) в (7.9), получим систему линейных уравнений для определения , :

(7.10)

Вводя обозначения: , получим:

(7.11)

Решая методом Крамера систему (7.11), получим:

Подставляя в (7.8) найденные множители Лагранжа, получим оптимальную структуру портфеля в виде:

. (7.12)

Из (7.12) видно, что х линейно зависит от требуемой доходности портфеля m_s (см. рис. 7.1.). Тогда риск, равный будет квадратичной выпуклой вниз функцией от требуемой доходности портфеля m_s (см. рис. 7.2.).

Рассмотрим теперь задачу минимизации функции риска с дополнительными ограничениями (условия неотрицательности неизвестных) в виде неравенств (7.4). Дадим геометрическую интерпретацию решения этой задачи.

Функции риска является квадратичной формой неизвестных. Два линейных ограничения выделяют в n-мерном пространстве неизвестных подпространство n–2-мерной размерности, соответствующее независимым переменным. В этом подпространстве n неравенств (x_i0) ограничивает некоторый выпуклый многогранник размерности n–2. Минимизируемая функция является квадратичной знакоположительной, поэтому минимум может достигаться как внутри многогранника, так и на его границе.

Данная задача относится к проблеме квадратичного программирования, для решения которой разработаны специальные численные методы.

Эта задача может быть решена с использованием универсальных математических программных средств, например, Excel, Mathcad, Matlab, Maple или специальных программных средств, применяющих метод проекции градиента (Розена) и имеющихся в СЗАГС.

Пример58.