- •Инвестиции Учебное пособие
- •Печатается по решению редакционно-издательского совета сзагс
- •Содержание
- •Раздел I. 6
- •Раздел II. Лекции 8
- •Раздел IV. Планы практических занятий 185
- •Раздел V. Словарь основных понятий 196
- •Раздел VI. Примерные темы курсовых работ 203
- •Раздел VII. Примерный перечень вопросов к итоговой аттестации 205
- •Раздел I.
- •Выписка из образовательного стандарта
- •Инвестиции
- •Рынок ценных бумаг
- •Раздел II. Лекции Введение
- •1. Товары финансового рынка
- •2. Финансовые вычисления
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Кредитование
- •Пример 9.
- •Решение.
- •Решение.
- •2.3. Дисконтирование
- •2.4. Эффективная ставка
- •2.5. Непрерывная ставка (сила роста) и непрерывный дисконт
- •3. Потоки платежей
- •3.1. Однонаправленные потоки платежей
- •3.2. Финансовая рента (аннуитет)
- •Непрерывная рента.
- •3.3. Двусторонние потоки платежей. Эффективная ставка операции
- •3.4. Эффективная ставка кредита
- •Парадокс эффективной процентной ставки.
- •3.5 Финансовые вычисления по ценным бумагам
- •Фундаментальный и технический анализ ценных бумаг.
- •Оценка облигаций с нулевым купоном
- •Оценка облигации с фиксированной ставкой
- •Оценка бессрочных облигаций с постоянным доходом
- •Оценка обыкновенных акций
- •Формула Гордона.
- •Формула Модильяни
- •3.6. Вероятностные характеристики платежей
- •Оценка эффективности инвестиционного проекта
- •4.1 Критерии оценки эффективности инвестиционного проекта
- •Чистое современное значение npv (net present value).
- •Срок (время) окупаемости инвестиционного проекта (discount payback period, dpp).
- •Норма рентабельности, индекс доходности инвестиционного проекта (profitability index, pi).
- •4.2. Чистое современное значение npv (net present value)
- •4.3. Эффективная ставка, внутренняя эффективность, внутренняя норма доходности (internal rate of return, irr)
- •4.4. Срок (время) окупаемости инвестиционного проекта (discount payback period, dpp)
- •4.5. Норма рентабельности, индекс доходности инвестиционного проекта (profitability index, pi)
- •5. Моделирование рисков на рынке ценных бумаг
- •5.1. Финансовый риск
- •5.2. Неравенство Чебышева
- •Теорема Чебышева
- •5.3. Хеджирование
- •6. Портфель ценных бумаг
- •6.1. Характеристики портфеля ценных бумаг
- •6.2. Оценка доходности и риска портфеля ценных бумаг
- •6.3. Портфель из независимых ценных бумаг. Диверсификация портфеля
- •6.4. Портфель из коррелированных ценных бумаг
- •6.5. Портфель из антикоррелированных ценных бумаг
- •7. Оптимальный портфель при рискованных вложениях
- •Задача об осторожном инвесторе.
- •Портфель из статистически независимых ценных бумаг с минимальным риском
- •8. Оптимальный портфель ценных бумаг при безрисковых и рискованных вложениях (j. Tobin)
- •9. Статистика фондового рынка
- •9.1. Прямой статистический метод
- •9.2. Метод ведущих факторов
- •Заключение
- •Приложение Элементы теории вероятностей и математической статистики
- •Ковариация
- •Линейная регрессия. Парная линейная регрессия
- •Множественный регрессионный анализ
- •Раздел ш. Список рекомендуемой литературы
- •Задача 11.
- •Задача 12.
- •1.3. Дисконтирование
- •1.4. Эффективная ставка
- •2.4.Эффективная ставка операции
- •Занятие № 3. Тема «финансовые вычисления по ценным бумагам» Оценка облигаций с нулевым купоном
- •Занятие № 4. Тема «оценка эффективности инвестиционного проекта»
- •Занятие № 5. Тема «финансовый риск»
- •3.2. Неравенство Чебышева
- •3.3. Хеджирование
- •Занятие № 6. Тема «портфель ценных бумаг». «построение оптимального портфеля ценных бумаг при рискованных вложениях»
- •Раздел V. Словарь основных понятий
- •Раздел VI. Примерные темы курсовых работ
- •Финансовые вычисления по ценным бумагам.
- •Хеджирование.
- •Оценка доходности и риска портфеля ценных бумаг.
- •Раздел VII. Примерный перечень вопросов к итоговой аттестации
- •Товары финансового рынка.
- •Эффективная ставка кредита.
- •Хеджирование.
- •Клоков Владимир Иванович инвестиции
2.2. Кредитование
Простые ставки процентов. Пусть начальный момент равен нулю, Т – базовый период, t – фактический период действия сделки, называемый конверсионным периодом или периодом начисления, S(o) – начальная сумма, S(t) – конечная сумма, получаемая кредитором в момент t. Если годовой интерес (ставка) равна r, то в конце фактического срока сделки t дебитор должен заплатить кредитору сумму
, (2.8)
где t и Т измеряются в днях. При этом согласно договору, используется либо точная длительность года – 365 или 366 дней (точные проценты), либо приближенная длительность года – 360 дней = 12 месяцев 30 дней (обычные проценты).
В ряде случаев удобно использовать упрощенную форму записи формулы простых процентов в виде:
, (2.9)
где фактический период действия сделки t измеряются в годах. При этом переход от длительности сделки в днях к длительности сделки в годах производится по схемам обычных или точных процентов.
Таким образом, в формуле (2.9), описывающей финансовую операцию, присутствуют четыре параметра. Можно задать любые три параметра, а четвертый параметр считать неизвестным. Определить его можно из уравнения (2.9).
В соответствии с этим возникают различные экономические задачи, которые будут рассмотрены ниже.
Пример 4.
Выдан кредит на сумму 2 млн руб. с 15.01.2010 г. по 15.03. 2010 г. под
40 % годовых. В зависимости от договора сумма погасительного платежа различна. При точном расчете t=16 дней (январь) + 28 дней (февраль) +15 дней (март) = 59 дней согласно (2.8) имеем:
млн руб.
Приближенный расчет по обычным процентам дает согласно (2.8) t=60 дней:
млн руб.
Сумма платежа по обычным процентам всегда больше чем по точным процентам.
Пример 5.
Определить простую ставку процентов, при которой первоначальный капитал в размере 60 млн руб. достигнет 63 млн руб. через квартал.
Из формулы простых процентов (2.9) для ставки r имеем:
Подставляя соответствующие числовые значения, получим:
Пример 6.
Определить период начисления, за который первоначальный капитал в размере 38 млн руб. вырастет до 40 млн руб., если используется простая ставка процентов 12 % годовых.
Из формулы простых процентов (2.9) для времени t имеем:
Тогда, подставляя соответствующие числовые значения, получим:
Пример 7.
Кредит выдается под простую ставку 16 % годовых на 250 дней. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и сумму процентных денег, если требуется возвратить 50 млн руб.
Из формулы простых процентов (2.9) имеем:
Следовательно, сумма, получаемая заемщиком равна:
S(0)=50/(1+0,16·250/360)= 45 млн руб.,
Сумма процентных денег равна 5 млн руб.
Задача 2.
Ссуда в размере 50 тыс. руб. выдана на полгода по простой ставке процентов 28 % годовых. Определить наращенную сумму.
Ответ.
57 тыс. руб.
Задача 3.
Кредит в размере 10 млн руб. выдан 2 марта до 11 декабря под 30 % годовых, год високосный. Определить размер наращенной суммы для различных вариантов расчета процентов: точное число дней ссуды и точная длительность года 366 дней; точное число дней ссуды и приближенная длительность года 360 дней; приближенные число дней ссуды и длительность года.
Ответ.
12327868 руб.;
12366666 руб.;
12333333 руб.
Задача 4.
Определить период начисления, за который первоначальный капитал в размере 25 млн руб. вырастет до 40 млн руб., если используется простая ставка процентов 28 % годовых.
Ответ.
t=2,14 года.
Задача 5.
Определить простую ставку процентов, при которой первоначальный капитал в размере 24 млн руб. достигнет 30 млн руб. через год.
Ответ.
r=25 %.
Задача 6.
Кредит выдается под простую ставку 26 % годовых на 250 дней. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и сумму процентных денег, если требуется возвратить 40 млн руб.
Ответ.
33,955857 млн руб.;
6,044143 млн руб.
Задача 7.
В течение первого месяца цена товара увеличилась на 25 %, а в течение следующего месяца цена товара возвратилась к первоначальному уровню. На сколько процентов уменьшилась новая цена товара?
Ответ.
На 20 %.
Задача 8. Переменная ставка простых процентов.
За время хранения вклада меняются величины процентных ставок. Пусть в периоды времени n1, n2, … nm процентные ставки составляют r1, r2,… rm. Найти наращенную сумму S(t), если начальный вклад равен S(0).
Ответ.
При расчетах по среднесрочным и долгосрочным кредитам используется схема сложных процентов.
Сложные проценты. Пусть длительность сделки t кратна базовому периоду Т, т. е. t целое число. При базовом периоде Т = 1 год, длительность сделки целое число лет t. Тогда наращенная сумма равна:
, (2.10)
где
S(0) – начальная сумма,
r – процентная ставка за год (интерес).
Очевидно, что зависимость суммы S(t) от времени t при расчете по схеме простых процентов (2.9) линейная, при расчете по схеме сложных процентов нелинейная (является показательной функцией от t), и, как будет показано ниже, в ряде случаев эта зависимость хорошо апроксимируется экспонентой.
Формула (2.10) может использоваться для расчета по сложным процентам при любой длительности сделки t так, как показательная функция определена при любых значениях t.
Пример 8.
Первоначальная вложенная сумма равна 200 тыс. руб. Определить наращенную сумму через пять лет при использовании простой и сложной ставки процентов в размере 28 % годовых. Рассмотреть случаи, когда сложные проценты начисляются ежегодно, по полугодиям и поквартально. Для простых процентных ставок имеем:
тыс. руб.
Для сложных годовых процентов:
тыс. руб.
Для сложных полугодовых начисленных процентов:
тыс. руб.
Для поквартального начисления сложных процентов:
тыс. руб.
Обобщая пример 5, рассмотрим задачу вычисления процентной суммы S(t) через t лет в случае, когда проценты начисляются m раз в год. Сумма S(o) выдана под r процентов годовых с начислением сложных процентов m раз в год. Воспользовавшись формулой (2.10), для этого случая очевидно имеем:
. (2.11)
Представляет интерес рассмотрения предельного случая при m, тогда сложные проценты начисляются непрерывно. Используя замечательный предел
,
где – основание натуральных логарифмов (число «е»), получим:
.
Таким образом, если сложные проценты начисляются непрерывно, наращенная сумма экспоненциально зависит от времени и равна:
(2.12)
Наращение суммы при непрерывном начислении процентов идет более быстрым темпом, чем при начислении сложных дискретных процентов.
Для примера 5 в случае непрерывного исчисления имеем:
тыс. руб.
Смешанные или комбинированные проценты. Пусть Т – базовый период, а t – фактическая длительность сделки. Всякое число можно представить в виде суммы целой и дробной части:
,
где
– обозначает целую часть числа;
– дробную часть числа.
Разобьем длительность сделки в годах на целую и дробную часть . Обозначим для простоты и , тогда .
Используя приведенные обозначения, для наращенной суммы, вычисленной по схеме комбинированных процентов, имеем:
, (2.13)
где
k – целая часть или целое число лет в длительности сделки;
– дробная часть длительности сделки .